En primer lugar, me gustaría señalar que la física del estado sólido no es como la mecánica cuántica o tal vez la QFT en el sentido de que se puede articular (casi) todo el teoría bajo una formulación matemática, partiendo de un conjunto de axiomas y continuando. En un extracto de la última referencia podemos leer lo siguiente:
Mientras que en campos relacionados, como la Mecánica Estadística y Física Atómica, muchos problemas clave se formulan fácilmente en matemática inequívoca, no ocurre lo mismo en la Física de la Materia Condensada, donde algunos dicen que el rigor es "probablemente imposible y ciertamente innecesario". Seleccionando cuidadosamente las cuestiones más importantes y formulándolas como problemas matemáticos bien definidos, y resolviendo después un buen número de ellos, Lieb ha demostrado que la opinión citada es errónea en ambos aspectos. Lo que sí es cierto es que muchos de estos problemas resultan ser muy difíciles. No es raro que se tarde una década (incluso varias décadas) en resolverlos.
Los desarrollos teóricos en materia condensada están, creo, en gran medida motivados por los experimentos observaciones experimentales. Se construyen modelos fenomenológicos que con el tiempo se fijan en una formulación más rigurosa. Además, construimos modelos que pensamos que pueden explicar las observaciones y cada modelo requiere un tipo específico de matemáticas. Una vez que podemos explicar las características aproximadas, entonces incluimos más y más detalles. Siempre hay un equilibrio entre lo que queremos reproducir y lo sencillo (y esclarecedor) que es el modelo. Cuantos más detalles, más complicado es el modelo matemático, por lo que cada vez requiere matemáticas más avanzadas. Sin embargo, a veces necesitamos matemáticas avanzadas desde el principio. Así que probablemente no encontrarás un único tratamiento matemático de todo, sino varios modelos dispersos. Por lo tanto, creo que lo mejor es leer primero libros generales de estado sólido para encontrar qué problemas existen y luego elegir el modelo que más te guste. A continuación se presenta un conjunto de temas dentro de la teoría del estado sólido y algunas referencias de los tratamientos más rigurosos que he encontrado.
Cristalografía matemática:
Estructura electrónica:
Encontrarás muchos modelos matemáticos con los que jugar, como la teoría de Thomas-Fermi, DFT, tight-binding, Hubbard, ...
- Introducción a las simulaciones de primeros principios de sistemas extendidos por Fabio Finocchi, Jaceck Goniakowski, Xavier Gonze, Cesare Pisani. Handbook of Numerical Analysis, Vol. X, p. 377.
- Química cuántica computacional: Un manual por Eric Cances, Mireille Defranceschi, Werner Kutzelnigg, Claude Le Bris, Yvon Maday, parte III, Handbook of Numerical Analysis, Vol. X, p. 3.
- Un seminario diseñado para matemáticos: Escuela de verano MSRI-LBNL 2016 sobre teoría de la estructura electrónica . Vídeos de conferencias están disponibles en línea.
Dinámica de la red:
- Teoría dinámica de las redes cristalinas - M. Born, K. Huang.
Superconductividad:
Existen teorías fenomenológicas (teoría BCS, teoría de Ginzburg-Landau, ...) pero aún no hay una teoría establecida. Los investigadores intentan utilizar la QFT para explicar los fenómenos.
- Introducción a la superconductividad Tinkham.
Efecto Hall cuántico:
Aisladores topológicos:
Este campo se encuentra todavía en un estado incipiente, está evolucionando y es activo.
Otros:
- Lieb, Elliott H. Física de la materia condensada y modelos exactamente solubles . Selecta de Elliott H. Lieb. Editado por B. Nachtergaele, J. P. Solovej y J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlín, 2004. x+675 pp
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La física del estado sólido es un campo enorme; ¿tiene alguna subárea específica de la física del estado sólido a la que le gustaría una introducción matemáticamente rigurosa?
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Como no soy matemático nunca he llegado a leer esto, pero podría ser de interés ya que mencionaste QHE -- arxiv.org/abs/cond-mat/9411052