Realmente no significa nada malo en absoluto, a pesar de la confusa respuestas que a veces uno recibe acerca de este asunto. El gran punto es: no es muy directa significado físico a la aplicación de un operador $H$ o $Q$, incluso si se trata de un observable, a una función de onda $\psi$, incluso si $\psi$ es en el dominio de $H$ o $Q$. (Véase también el Operador de comparación Transformación Lineal, http://physics.stackexchange.com/a/18933/6432 .
En mi opinión, el único operador con muy directa significado físico es el tiempo de evolución operador $e^{iHt}$ algunos $t$, o para todos los $t$, y como usted parece darse cuenta, por la Piedra-teorema de von Neumann, que esto existe, incluso para discontinuo $\psi$ incluso para unbounded $H$.
Pero, también esta es mi opinión, la definición exacta de espacio de Hilbert no es importante y muchos matemáticos físicos que preocuparse (demasiado) sobre si es discontinua funciones de onda, que obviamente están fuera del dominio de $H$, sean físicas o no, la gestión para formular la Mecánica Cuántica bien en un subespacio denso de un espacio de Hilbert. Otros, con el otro te preocupes, de nuevo, en mi opinión, preocuparse demasiado acerca de algo que en realidad no es tan malo, hablar de manipulado de Hilbert espacios nucleares o de los espacios en fin de alguna manera, son infinita norma estados y excluye a los no-diferenciable las funciones de onda....ver Sudbery, la Mecánica Cuántica y las Partículas de la Naturaleza. para esto.
Hay una razón matemática para pensar que la elección exacta de lo que el dominio o lo que el espacio, el espacio de Hilbert, o un subespacio de suave wavefunctions dentro del Espacio de Hilbert, o el espacio de Schwartz disminuyendo rápidamente y las funciones lisas, o una extensión del espacio de Hilbert para incluir algunas dual objetos tales como distribuciones, a pensar de que el dominio de estos operadores, es....sin importancia porque no importa lo que el espacio que usted elija, usted consigue la misma física, y la razón de que es un teorema de Wilfrid Schmid, Henryk Hecht, y Dragan Milicic, o al menos de alguien o de otros, que dice que si tienes un semi-simple Mentira operaciones del grupo en el espacio, (si el QM va a hecho relativista a la larga tiene que asumir el grupo de Lorentz actos) y si la representación tiene un número finito de la composición de la serie (esto excluye a los campos cuánticos), entonces la estructura algebraica de la rep. es independiente de que el espacio que usted considere (dentro de amplios límites). Las versiones anteriores de tales resultados fueron probados por Nelson, Sobre, y Harish-Chandra, y le dio una sorpresa muy agradable Hermann Weyl y todos los demás involucrados en el momento...
Ahora, muy concretamente, incluso si $\psi$ no está en el dominio de $H$, o cualquier otro observable $Q$, lo cierto es que el espacio de Hilbert tiene una Hilbert base de autoestados de $H$ y por lo tanto, incluso si $\psi$ es horrible y discontinuo y todo lo malo, que todavía tiene que
$$\psi = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{i=n} c_i v_i$$
donde $v_i$ es el normalizado eigenstate de $H$ (o $Q$) con autovalor, dicen, $\lambda_i$, e $c_i$ son números complejos, el llamado de Fourier--Bessel coeficientes de $\psi$, y la convergencia no es pointwise pero en la L$^2$ norma. Ahora note: cada finito suma
$$\sum_{i=0}^{i=n} c_i v_i$$ is an analytic function, if $H$ is hypo-elliptic, as is often true, e.g., the harmonic oscillator, and is at any rate smooth and in the domain of $H$.
Y sigue siendo cierto, por los axiomas de la QM, que la probabilidad de que $H$ (o $Q$), si se mide, tomar el valor de $\lambda_i$ $\vert c_i \vert ^2$ si no $\psi$ está en el dominio de $H$ (o $Q$).
Pedagógicamente, existe una confusión generalizada que un observable, ya que es un operador, debe ser aplicado a una función, ya que es un operador, pero esto es sólo una ingenua confusión. Si algo debe ser aplicado a la función de onda como un operador, es la exponencial de a $iH$, que siempre es limitado. Para repetir: sólo por $H$ es un operador, y $\psi$ es una función, no significa que usted debe aplicar$H$$\psi$. Aunque cuando se puede, que puede ser un atajo útil, no es necesario nunca hacerlo, y los axiomas de la QM, cuando declaró cuidadosamente, nunca pedimos que se aplican $H$$\psi$. Lo que pedimos es que, para unitario de la evolución en el tiempo para aplicar la exponencial de a $iH$, y para los Nacidos regla de probabilidades, expanda $\psi$ para obtener su Fourier--Bessel de los coeficientes. La descuidada forma de pensar, que uno ve a menudo, funciona bien para la mayoría de simple QM problemas, sino que conduce a la gente, pidiendo precisamente esta OP, precisamente porque es descuidado. El cuidado de axiomatisation estados de cosas de la manera que he formulado.
