(Trabajo en curso).
Dicen que un subconjunto $A$ $\mathbb{R}$ es la diferencia única de si para todas las $z \not = 0, z \in \mathbb{R}$ hay un par de $a_z, b_z \in A$$a_z - b_z \in A$. Decir $A$ es bonito si, además de todas las $z \not = 0, z \in \mathbb{R}$ no es exactamente una $a_z, b_z \in A$$a_z - b_z = z$. (Que es, de su propiedad.) Es obvio que bonito conjuntos deben ser incontables, porque ellos deben tener una cantidad no numerable de las diferencias-de-dos-elementos, y que debe ser ilimitada, porque arbitrariamente grandes diferencias deben ser formados.
WLOG también que si $A$ es la diferencia únicos (o bonito), a continuación,$0 \in A$. De hecho, si no, podemos seleccionar un elemento $a \in A$ y considerar la posibilidad de $A - a$, que tiene exactamente la misma diferencia singularidad/definición de estado como $A$.
Lema: Vamos a $A$ ser agradable. A continuación, $A$ no es un subconjunto estricto de otro conjunto agradable.
De hecho, si $B$ eran cualquier conjunto con $A \subset B$, para luego decir $b \in B \setminus A$, y elegir algunas otras $c \in B$. Entonces no es único,$x, y \in A$$x-y = c-b$; pero $x, y$ $B$ también, por lo $B$ no es agradable.
Un lema de Zorn prueba se espera que sea posible.
Lema: la unión de un anidada colección de diferencia-conjuntos singulares es la diferencia único. (Es decir, cadenas en el poset de diferencia-un conjunto único, ordenado por inclusión, tienen límites superior.)
Prueba: supongamos $\cup_I A_i$, una unión de diferencia-conjuntos únicos, no se diferencia único. Entonces no sería $a, b, c, d$ en la unión que había a $a-b = c-d$, con $a \not = c, b \not = d$, $a \not = b$, $c \not = d$. A continuación, todos los $a,b,c,d$ aparecen en algunos $A_i$, contradiciendo la diferencia, la singularidad de cada una de las $A_i$.
Por lo tanto, por el lema de Zorn, existe una máxima diferencia-conjunto único. Sólo necesitamos uno de estos para ser agradable.
La obvia algoritmo voraz ("encontrar el primer número entero que no es una diferencia, agregar a la última entero en nuestra secuencia, y añadir que se suma a la secuencia") no se puede crear un entero-niza" $A$: un conjunto de números enteros tales que cada entero aparece exactamente una vez como una diferencia. Construye $\{0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44\}$ y, a continuación, intenta agregar a $59$ a la lista (mientras intentaban llegar a $15$ como diferencia), que ha $29 = 59 - 20 = 30 - 1$.
