Pensé que sería una respuesta a los comentarios a la primera respuesta abordar un punto que me confunde cuando me enteré de estas cosas. Una de morfismos $f:X\to Y$ (tengo que escribir en esta dirección o de lo contrario me voy a confundirme) se dice que es un cerrado de inmersión si $f$ induce un homeomorphism de $X$ a un subconjunto cerrado de $Y$, e $f^\sharp:\mathscr{O}_Y\to f_*(\mathscr{O}_X)$ es surjective.
En algunas de las referencias que he visto es casualmente comentó que la segunda condición es equivalente a surjectivity del mapa $f_x^\sharp:\mathscr{O}_{Y,f(x)}\to\mathscr{O}_{X,x}$ todos los $x\in X$. Pero es esto realmente trivial? No! Este mapa, que pudiera ser llamado el tallo de la morfismos $f$$x$, es no literalmente el mismo que el tallo de $f^\sharp$$f(x)$. De hecho, ese es un mapa de $f_{f(x)}^\sharp:\mathscr{O}_{Y,f(x)}\to(f_*\mathscr{O}_X)_{f(x)}$. En general, siempre hay una natural mapa de $\varphi_x:(f_*\mathscr{O}_X)_{f(x)}\to\mathscr{O}_{X,x}$, pero no es en general un isomorfismo. El mapa de $f_x^\sharp$ es igual a $\varphi_x\circ f_{f(x)}^\sharp$. Así, mientras que es el estándar de que el mapa de $f^\sharp$ de las poleas (en $Y$!) es surjective si y sólo si $f_y^\sharp:\mathscr{O}_{Y,y}\to (f_*\mathscr{O}_X)_y$ es surjective para todos los $y\in Y$, esto evidentemente no dicen nada acerca de surjectivity de los mapas de $f_x^\sharp:\mathscr{O}_{Y,f(x)}\to\mathscr{O}_{X,x}$$x\in X$. Sin embargo, si $f$ es un homeomorphism en un subconjunto cerrado $f(X)\subseteq Y$, luego los tallos de $f_*\mathscr{O}_X$ en puntos de $Y$ son fáciles de calcular: son cero en los puntos fuera de $f(X)$, y en un punto de $f(x)\in f(X)$, tenemos que el natural mapa de $(f_*\mathscr{O}_X)_{f(x)}\to\mathscr{O}_{X,x}$ es un isomorfismo. Así que en ese caso, surjectivity de cada $f_x^\sharp$, $x\in X$, en realidad implicará surjectivity de $f_y^\sharp$, $y\in Y$, y, por tanto, de $f^\sharp$.
Sin la condición de que $f$ es un cerrado topológico de inmersión sobre el subyacente de espacios topológicos, no va a ser cierto que $f^\sharp$ es surjective si y sólo si $f_x^\sharp$ es surjective para todos los $x\in X$. Para hacer esto más claro, supongamos $X=\mathrm{Spec}(B)$$Y=\mathrm{Spec}(A)$, lo $f=\mathrm{Spec}(\alpha)$ $\alpha:A\to B$ un anillo homomorphism. El tallo mapa de $f$ $x=\mathfrak{q}\in\mathrm{Spec}(B)$ es el anillo mapa de $A_\mathfrak{p}\to B_\mathfrak{q}$ donde $\mathfrak{q}=\alpha^{-1}(\mathfrak{p})$. En general, surjectivity de este mapa para todos los $\mathfrak{q}\in\mathrm{Spec}(B)$ no implica surjectivity de $\alpha$ sí.
Creo que el ejemplo más sencillo que se ilustran este es al $B=A_g$ es una de las principales localización de $A$. Entonces, en el hecho de que el tallo mapa en el párrafo anterior es un isomorfismo para cada primer ideal de $A_g$ (el conjunto de los cuales son naturales bijection con el conjunto de los números primos de $A$ que no contengan $g$, es decir,$D(g)$). Pero el plano de localización $A\to A_g$ (es decir, el mapa mundial de las secciones de $f$) no suelen surjective. Tenga en cuenta que en este caso $f$ es un homeomorphism en el abierto subconjunto $D(g)$$\mathrm{Spec}(A)$, pero $D(g)$ no es generalmente cerrado en $A$.
Creo que quizás esto se ilustra por qué la primera condición es importante, y por qué, si uno quiere pensar acerca de surjectivity de $f^\sharp$ en términos de los tallos de $f$, $f_x^\sharp$, para $x\in X$, la topológico condición es necesaria, y lógicamente "precede a" la condición en la $f^\sharp$.
Por último, debo señalar que los mapas que me han estado llamando los `tallos de $f$," $f_x^\sharp$, para $x\in X$, son de hecho los tallos del mapa de poleas en $X$ (en el sentido usual de la palabra) $f^\flat:f^{-1}\mathscr{O}_Y\to \mathscr{O}_X$ correspondiente a $f^\sharp$ bajo la contigüidad entre el$f^{-1}$$f_*$. Así surjectivity de todos $f_x^\sharp$, $x\in X$, es lógicamente equivalente a surjectivity de $f^\flat$. No hay ninguna razón para creer que $f^\flat$ es surjective si y sólo si $f^\sharp$ o, incluso, que hay una implicación de la dirección en general.
