Definición de límites homotopy

Question

He aquí una definición para homotopy límites que no está muy bien, pero parece rescatable. ¿Alguien sabe cómo solucionarlo?

Supongamos que la categoría de $C$ es razonable ajuste para homotopy teoría, dicen que es enriquecida a través de algún tipo de categoría de los espacios (por ejemplo, los complejos de la cadena, simplicial conjuntos, ...).

Def: sea F: D^op $\to$ C ser un diagrama (functor). Un objeto X, junto con un mapa η de X en el diagrama es un LÍMITE para el diagrama de iff la inducción de la transformación natural de functors Hom_C(-, X) $\to \lim$ Hom_C(-,F) es un isomorfismo. Un par (X,η) es un homotopy límite para el diagrama de F iff la inducida por la transformación de functors Hom_C(-,X) $\to \lim$ Hom_C(-, F) es un débil equivalencia.

Esta definición no acaba de cortar, ya que, en la mayoría de los ejemplos de motivación sé que, a pesar de que la homotopy límite de un objeto X viene equipado con un morfismos a cada objeto en el diagrama, estos no conmuta con los morfismos en el diagrama---sólo conmutar hasta homotopy. Así que un homotopy límite no incluso vienen con un mapa para el diagrama, por lo que no viene con un inducida por la transformación natural. Entonces, ¿cómo puedo caracterizar el objeto X en similar universal de los bienes (estricto) de límite?

Answer 1

Reid la respuesta es bastante correcto, pero mucho antes de que "quasicategories" se puso de moda, algebraicas topologists estaban haciendo exactamente lo mismo con el "simplicial la construcción de la barra" y el viejo y simple topológico o simplicial enriquecido categorías.

Por un fijo de x, el límite de $\lim \hom_C(x,F)$ es equivalente al conjunto de transformaciones naturales a partir de la constante functor $\Delta_1\colon D\to Set$ $1$ para el functor $\hom_C(x,F(-))$. Así que, para reemplazarlo por algo "coherente" necesitamos una noción de "homotopy coherente de transformación." Ahora el conjunto de transformaciones naturales de un functor $G\colon X\to Top$ a un functor $H\colon Y\to Top$ puede ser definida como una "final", y se calcula como un ecualizador de los dos mapas de $\prod_x \hom(G x, H x) \rightrightarrows \prod_{x \to y} \hom(G x, H y)$. Pero estos dos mapas son los dos primeros coface mapas de un cosimplicial objeto que continúa con $\prod_{x\to y\to z} \hom(G x, H z)$ y así sucesivamente, por lo que podemos definir el espacio de la "homotopy coherente transformaciones" para ser su totalización (el doble de realización geométrica).

Ahora un homotopy límite puede ser definido como una representación de objeto para el espacio de homotopy coherente transformaciones de $\Delta_1$ $\hom_C(x,F(-))$(donde ahora se $C$ es topológicamente enriquecido, por lo que estos functors toman valores en espacios). Por otra parte, si $C$ admite "totalizations" como un topológicamente enriquecido categoría (una especie de "ponderado límite"---basta ordinario límites y "cotensors"), entonces el homotopy límite puede ser construido por la "internalización" de la anterior construcción.

Answer 2

Puedes solucionarlo haciendo η un homotopy coherente diagrama (un mapa para cada uno de los objetos de D, un homotopy para cada flecha de D, un homotopy-entre-homotopies para cada uno de los desplazamientos triángulo en D, ...) y también la sustitución de lim Hom_C(–, F) con un espacio adecuado de homotopy coherente diagramas. Esto es esencialmente lo que se hace en el quasicategory de la teoría de la definición de (homotopy) límite; véase la sección 1.2.13 de Mayor Topos de la Teoría para una breve descripción.