Aplicaciones de grupo cohomology de álgebra

Question

Empecé a aprender acerca de grupo cohomology (de grupos finitos) a partir de dos libros: Babakhanian y Hilton&Stammbach. La teoría es, en efecto natural y hermoso, pero no pude encontrar muchos ejemplos de sus usos en el álgebra.

Estoy buscando problemas mencionados en más clásica algebraica de los términos que se resuelve elegantemente o que se entiende mejor a través de la noción de grupo cohomology. Lo que me gustaría saber más es "¿qué podemos aprender acerca de un grupo finito $G$ observando su cohomology grupos en relación a diversos $G$-módulos?").

Un ejemplo que encontré es $H^2(G,M)$ clasificación de las extensiones de $M$$G$.

Entonces, mi pregunta es:

¿Qué problemas en grupos/anillos/campos/modules/álgebras asociativas/álgebras de Lie se resuelven o se entienden mejor a través de un grupo de cohomology?

En los ejemplos de la teoría algebraica de números también son bienvenidos (esto es un poco menos interesante desde mi perspectiva actual, pero sí recuerdo que el profesor de mencionar este concepto en una base de algnt supuesto que me he tomado algún tiempo atrás).

Answer 1

He aquí un ejemplo simple, en la parte superior de mi cabeza. Un grupo que se dice ser finitely presentable si tiene una presentación con un número finito de generadores y relaciones. Esto, en particular, implica que $H_2(G)$ es de rango finito. (Usted puede tomar trivial coeficiente de sistemas también aquí.) Así que usted consigue una buena condición necesaria para finitos presentabilidad.

La prueba de este hecho es sencilla. Si $G$ es finitely presentado, se puede construir un finito $2$-complejo que ha $G$ como grupo fundamental. Para obtener una Eilenberg-Maclane espacio de $K(G,1)$ agregar $3$-las células para eliminar todos los $\pi_2$, luego agregar el $4$-las células para eliminar todos los $\pi_3$ etc... Que terminan construyendo una $K(G,1)$ con un número finito de $2$-esqueleto.

Answer 2

En adición a lo Gruñón Chirivía dijo acerca del grupo de homología, he aquí otra aplicación: En el campo de la pro-$p$-grupos, tenemos que el grupo de cohomology es una herramienta extremadamente útil para la determinación de la estructura de un grupo, por ejemplo, la búsqueda de los números de generadores y relaciones de pro-$p$grupo:

A continuación, el generador de rango $d(G) = \dim_{\mathbb{F}_p} H^1(G,\mathbb{F}_p)$ y la relación de rango $r(G) = \dim_{\mathbb{F}_p} H^2(F, \mathbb{F}_p)$ para un pro-$p$grupo $G$.

Hay una famosa desigualdad descubierto por Golod y Shavarefich que une los números de arriba para hacer una declaración si un infinito pro-$p$-grupo es en realidad finita. Esta es una muy hermosa y de mayor alcance como resultado usted puede encontrar una gran cantidad de aplicaciones en la teoría de Galois. (Palabras clave: campo de clase de la torre, Hilbert campo de clase = máxima abelian unramified extensión)