¿Puede el vector cero ser un vector propio de una matriz?

Question

Estaba revisando mi trabajo en WolfRamAlpha, y dice que uno de mis valores propios (este con multiplicidad 2), tiene un vector propio de (0,0,0). ¿Cómo puede el vector cero ser un vector propio?

Answer 1

Como otros han escrito, los vectores propios suelen definirse (por ejemplo aquí (nótese la parte "no trivial") para excluir explícitamente el vector cero.

Como todas las definiciones de las matemáticas, se trata, por supuesto, de una convención. Sin embargo, como siempre, hay razones por las que esta convención tiene sentido: Muchas de las aplicaciones de la teoría espectral requieren la extracción de componentes escalares $x_i \rightarrow \lambda_i x_i$ de una transformación lineal representada por una multiplicación matricial $x \rightarrow A x$ ( análisis de componentes principales por si acaso $A$ es la matriz de covarianza de un vector aleatorio para alguna distribución de probabilidad multivariante). Aquí, $x_i$ es un vector propio para el valor propio $\lambda_i$ .

Si $0$ como un vector propio, de repente cada $\lambda \in \mathbb R$ sería un valor propio para él, haciendo que PCA no tenga sentido porque bajo su interpretación de los vectores propios de covarianza, ahora habría un "componente principal" (el vector cero) con una varianza indefinida.

Answer 2

Tenga en cuenta que algunos autores permiten $0$ para ser un vector propio. Por ejemplo, en el libro Linear Algebra Done Right (que es muy popular), un eigenvector se define como sigue:

Supongamos que $T \in \mathcal L(V)$ y $\lambda \in \mathbf F$ es un valor propio de $T$ . Un vector $u \in V$ se llama vector propio de $T$ (correspondiente a $\lambda$ ) si $Tu = \lambda u$ .

El libro dice entonces,

...vemos que el conjunto de vectores propios de $T$ correspondiente a $\lambda$ es igual a $\text{null}(T - \lambda I)$ . En particular, el conjunto de vectores propios de $T$ correspondiente a $\lambda$ es un subespacio de $V$ .

Sin embargo, un valor propio se define como sigue:

un escalar $\lambda \in \mathbf F$ se llama valor propio de $T \in \mathcal L(V)$ si existe un vector no nulo $u \in V$ tal que $Tu = \lambda u$ . Debemos exigir $u$ sea distinto de cero porque con $u = 0$ cada escalar $\lambda \in \mathbf F$ satisface [la ecuación $Tu = \lambda u$ ].

Hoffman y Kunze, otro libro de álgebra lineal muy apreciado, también permite $0$ para ser un vector propio. (Véase la definición de "vector característico" en la sección 6.2, p. 182.)