Cómo resolver una ecuación de cuarto grado?

Question

Podría alguien por favor explique cómo resolver esto : $x^4 - 10x^3 + 21x^2 + 40x - 100 = 0$ - la respuesta no es el único, pero un paso a paso de la solución. Traté de resolver, con la ayuda de khanacademy, pero todavía no tengo idea de cómo resolver correctamente.

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Desde el polinomio tiene coeficientes enteros, los racionales raíz teorema se aplica. Por lo tanto, cualquier racional de la raíz debe ser de la forma $x=\pm p/q$ donde $p$ divide el término constante de 100 y $q$ divide el coeficiente inicial 1. En este caso, la única posibilidad para $q$ es 1. Esto indica que cualquier racional de la raíz debe ser un divisor de a $100=2^2*5^2$. Resulta que este polinomio no tiene raíces racionales, después de que encontrar uno que puede realizar la división de polinomios para obtener una factorización.

Por ejemplo, tenemos el potencial racional raíces $x=\pm2,\pm5,\pm10,\pm20\pm25,\pm50,\pm100$. Nos podría conectar $x=5$ y compruebe que esta es una raíz. A continuación, $$ \frac{x^4 - 10x^3 + 21x^2 + 40x - 100}{x-5} = x^3-5x^2-4x+20. $$ Puesto que todas las raíces racionales, la repetición de este proceso se generan todos ellos. No todo polinomio con coeficientes enteros tiene raíces racionales (por ejemplo,$x^2-2=0$), por lo que esto no será siempre el caso.

Answer 2

$$x^4-10x^3 +25x^2-(4x^2-40x+100)=0$$

$$\Rightarrow x^2(x^2-10x+25)-4(x^2-10x+25)=0 $$

$$\Rightarrow (x^2-4)(x^2-10x+25)=0 $$

$$\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-5)^2=0 $$

$$\Rightarrow x_1=-2 , x_2=2 , x_{3,4}=5$$

Answer 3

Primera nota de que $x= \pm 2$ son las raíces de la ecuación. Por lo tanto, utilizando el teorema del resto, podemos proceder de la siguiente manera:

$$ x^3(x-2) - 8x^2(x-2) +5x(x-2) + 50(x-2)=0$$ $$\qquad \Rightarrow (x-2)(x^3 -8x^2 +5x +50) =0$$ $$ (x-2)( x^2(x+2) -10x(x+2) +25(x+2)) =0 $$ $$\qquad \Rightarrow (x^2-4)(x^2-10x+25)=0 $$ Por lo tanto podemos resolverlo como

$$ (x^2-4)(x-5)^2 =0 $$ or $$x=\{ -2,+2,5 \}$$

Answer 4

La idea es representar el polinomio $p(x) = x^4 - 10x^3 + 21x^2 + 40x - 100$ como un producto de factores simples. Por Vietta fórmula de la libre términos es igual al producto de las raíces. Por lo tanto, si nos limitamos a entero raíces, se debe dividir $100$. Empezar con $x=2$, y verificar que $p(2) = 16 - 10 \times 8 + 21 \times 4 + 40 \times 2 - 100 = 16 -80 + 84 - 80 + 100 = 0$.

Aplicando ahora la división larga calculamos $$ p(x) = (x-2)\left( x^3 - 8 x^2 + 5 x + 50 \right) $$ Ahora intenta $x=5$. $5^2(5-8) + 5 ( 5+ 10) = 5( -15 + 15) = 0$. Aplicar la división larga de nuevo: $$ p(x) = (x-2)(x-5) \left(x^3 - 3 x - 10\right) = (x-2)(x+2)(x-5)^2 $$