¿Por qué es tan esencial el dual de Hodge?

Question

Me parece antinatural que con tanta frecuencia merezca la pena sustituir los objetos físicos por sus duales de Hodge. Por ejemplo, si el campo magnético se considera correctamente como una forma 2 y el campo eléctrico como una forma 1, ¿por qué aparecen en las leyes de Ampere y Gauss como sus duales, es decir.

$$ \int_{\partial M} \star \mathcal B^2 = \int \int_M \left( 4\pi j^2 + \frac{\partial \star \mathcal E^1}{\partial t} \right)$$

$$ \int \int_{\partial U} \star \mathcal E^1 = 4 \pi Q_{\mathrm{enc}} $$

Del mismo modo, el momento angular se considera en casi todas partes como un pseudovector en lugar de como una 2-forma. ¿Tienen estas leyes formulaciones que no utilicen duales de Hodge? ¿Es sólo por simplicidad, ya que los tensores son menos familiares para la comunidad física que los vectores?

Answer 1

En el lenguaje de las formas diferenciales en el espaciotiempo, la intensidad de campo $2$ -forma $F = E\wedge\mathrm{d}\sigma + B$ da la ley de Gauss para el magnetismo y la inducción de Faraday: $$\mathrm{d}F = 0\text{.}$$ Mientras tanto, la excitación electromagnética $2$ -forma $H = -\mathcal{H}\wedge\mathrm{d}\sigma + \mathcal{D}$ proporciona una formulación natural de la ley de Gauss y de la ley circuital de Ampère: $$\mathrm{d}H = J\text{,}$$ donde $J$ es la forma 3 de la corriente eléctrica.

Por ejemplo, si el campo magnético se considera correctamente como una forma 2 y el campo eléctrico como una forma 1, entonces ¿por qué aparecen en las leyes de Ampere y Gauss como sus duales, es decir, ...

Porque es un papel cualitativamente diferente: $F$ siendo una forma cerrada es una propiedad necesaria para asegurar la conservación del flujo magnético y que la existencia de un potencial $1$ -forma $A$ para lo cual $F = \mathrm{d}A$ . Pero $H$ en lugar de la conservación del flujo magnético, expresa la conservación de la carga, con $H$ actuando como un "potencial" para la corriente eléctrica $J$ .

Por supuesto, si usted sabe que $H\propto\star F$ entonces puede eliminar el $(\mathcal{D},\mathcal{H})$ campos de excitación ponen todo en términos de $(E,B)$ sólo. O al revés, si lo desea. Naturalmente, esto introduce al menos un dual de Hodge implícito en las ecuaciones, como se ha indicado anteriormente. Pero esto oculta el carácter fundamentalmente libre de métrica de las ecuaciones de Maxwell: el único lugar donde aparece la métrica es en el dual de Hodge. Así que, en su lugar, se puede pensar en el dual de Hodge como un simple relación constitutiva para el espacio libre, teniendo el vacío su propio significado $\mathbf{D}$ y $\mathbf{H}$ campos.

En ese tipo de presentación, la aparición del dual de Hodge es natural y necesaria para convertir el electromagnetismo en una teoría totalmente predictiva: la métrica debe hacer su aparición finalmente pero las propias ecuaciones de Maxwell no tienen métrica.

Existen otras relaciones posibles entre $H$ y $F$ independientes de las ecuaciones de Maxwell propiamente dichas, lo que dio lugar a teorías alternativas del electromagnetismo, como la teoría de Born-Infeld y la polarización del vacío de Heisenberg-Euler, etc. En general, los requisitos de que la relación sea local y lineal dan $36$ componentes independientes, que $15$ son disipativos y no contribuyen al Lagrangiano ("skewon") y $1$ que contribuye al Lagrangiano pero no afecta a la propagación de la luz ni a la energía electromagnética de tensión (un "axión" fantasma).

Para la presentación de forma diferencial del electromagnetismo que enfatiza los papeles lógicamente independientes de $F$ y $H$ un buen lugar para empezar es el arXiv de Hehl y Obukhov: física/0005084 ya que funciona exclusivamente en $1+3$ y, por lo tanto, corresponde mucho más claramente a la presentación más habitual del electromagnetismo en términos de $(\mathbf{E},\mathbf{B})$ y $(\mathbf{D},\mathbf{H})$ . También tienen el libro sobre esto: Fundamentos de la electrodinámica clásica aunque es más exigente.

Además, MTW Gravitación tiene muchas ilustraciones bonitas de lo que sería $F$ y $H$ aunque en la presentación de MTW corresponden al "tensor de Faraday" y al "tensor de Maxwell", respectivamente, y se diferencian por un factor de conversión.