Hay una fórmula simple para esta pregunta sencilla sobre un círculo?

Question

¿Cuál es el promedio de la distancia de los puntos dentro de un círculo de radio de $r$ a partir de un punto a una distancia $d$ desde el centro del círculo (con $d>r$, a pesar de que una solución general sin esta restricción sería bueno)?

La pregunta se planteó como una investigación operativa de la simplificación de un problema real en las redes y es fácil aproximado para cualquier caso particular. Pero varios de mis colegas pensaron que un simple problema debe tener una fórmula simple como la solución, pero la combinación de nuestros cerebros nunca encontré uno, a pesar del esfuerzo titánico. Parece que involucran el cálculo.

Estoy interesado tanto en la manera de abordar el problema, pero también un final algebraicas solución que pudiera ser utilizada en una hoja de cálculo (es decir, no quiero tener que integrar a nada).

Answer 1

Supongo que involucra el cálculo. Deje $(x,y)$ ser un punto dentro del círculo de radio de $R$ $(d,0)$ de las coordenadas del punto a a una distancia de $d$ distancia desde el origen (debido a la simetría podemos elegir a tumbarse en el $x$-eje). A continuación, la distancia entre los dos puntos está dado por $$\ell = \sqrt{(x-d)^2 + y^2}.$$

Un promedio de más el círculo se hace mejor en coordenadas polares con $x=r \cos \phi$$y=r \sin\phi$. Tenemos $$\begin{align} \langle \ell \rangle &= \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi\, r \sqrt{(r\cos \phi -d)^2 + r^2\sin^2 \phi}\\ &= \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi\, r \sqrt{r^2 + d^2 -2 d r\cos\phi}. \end{align}$$

No estoy seguro de que la integral tiene una simple solución analítica. Por lo tanto, tengo que calcular en tres simples límites.

(a) $d\gg R$: podemos ampliar la $\sqrt{}$ $$\langle \ell \rangle = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi\, [r d- r^2 \cos \phi + \frac{r^3}{2d} \sin^2 \phi] = d + \frac{R^2}{8d}$$

(b) por $d \approx R$, tenemos $$\langle \ell \rangle = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi\, r^2 \sqrt{2 (1-\cos \phi)} = \frac{8 R}{3\pi}$$

(c) por $d\ll R$ [joriki del comentario] $$\langle \ell \rangle = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi\, \left[r^2 -rd\cos\phi + \frac{d^2}{2} \cos^2\phi\right] = \frac{2 R}{3} + \frac{d^2}{2R}$$

Answer 2

Esta solución definitivamente parece haber problema(s), pero tal vez a pesar de que es malo, que va a ayudar a conseguir a alguien para una completa solución correcta.

En primer lugar, supongamos que el punto está fuera del círculo. Para cada secante desde el punto a través del círculo, la distancia desde el punto a al punto medio de la parte de la secante que está dentro del círculo es igual a la media de las distancias de todos los puntos en el círculo a través del cual la secante que pasa. El locus de estos medios es un arco de círculo que tiene un diámetro con extremos en el punto dado y el centro del círculo.

Si ponemos el punto dado en el origen y en el centro del círculo en $d$ sobre el positivo del eje horizontal, el lugar geométrico de los puntos descritos anteriormente, se ha polares la ecuación de $r=\frac{d}{2}\cos\theta$$-\arcsin\frac{r}{d}\le\theta\le\arcsin\frac{r}{d}$. Para cada una de las $\theta$, la longitud del segmento de línea en la secante y en el interior del círculo es $2\sqrt{r^2-d^2\sin^2\theta}$.

Así, el promedio de la distancia deberá ser de: $$\frac{1}{2\arcsin\frac{r}{d}}\int_{-\arcsin\frac{r}{d}}^{\arcsin\frac{r}{d}}\left(2\sqrt{r^2-d^2\sin^2\theta}\cdot\frac{d}{2}\cos\theta\right)d\theta,$$ que me deje de Mathematica trabajar un poco y me dijo que es de 0, así que probablemente jodido algo.

Ahora, si el punto está dentro del círculo, luego tenemos a la totalidad de la circunferencia con diámetro con extremos en el punto dado y el centro del círculo. Colocar el punto y el círculo como en el anterior, el locus círculo tiene la misma ecuación, $r=\frac{d}{2}\cos\theta$, la longitud de la secante segmentos de línea en el interior del círculo (ahora sólo acordes) es el mismo $2\sqrt{r^2-d^2\sin^2\theta}$, pero los límites de la integración de cambio para abarcar todo el círculo: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(2\sqrt{r^2-d^2\sin^2\theta}\cdot\frac{d}{2}\cos\theta\right)d\theta.$$

Answer 3

Por la escala, podemos suponer $d=1$. Tenga en cuenta que $J(r) = \int_0^{2\pi} \sqrt{1-2r\cos(\theta) + r^2}\ d\theta$ es una integral elíptica, en Arce la notación $4 (1+r) \text{EllipticE}\left(\frac{2\sqrt{r}}{1+r}\right)$. Ahora desea $\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R r J(r)\ dr$. Parece que por $0 < R < 1$ este puede ser escrito utilizando una función hipergeométrica como $(1-R^2)^3 {}_2F_1(5/2,5/2; 2; R^2)$. Para $R > 1$ creo que usted tiene que tomar la parte real de que.