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Calcular el lim

Problemas con el cálculo de

\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x}

\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(2\cos^{2}(x)-1)}{(2\cos^{2}(x)-1)}\cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}\cdot\frac{(2\cos^{2}(x)-1)}{x^{2}}=0

La respuesta correcta es -2. Por favor, muestre donde esta vez he de error. Gracias de antemano!

12voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

De los límites conocidos puedes querer utilizar son, por x\to 0

\frac{\log(1+x)}x\to 1

\frac{\sin x }x\to 1

Con ellos, se obtiene

\begin{align}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(\cos 2x)}{x\sin x}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(1-2\sin ^2 x)}{-2\sin ^2 x}\frac{-2\sin ^2 x}{x\sin x}\\&=-2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(1-2\sin ^2 x)}{-2\sin ^2 x}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\\&=-2\lim\limits_{u\to 0}\frac{\log(1+u)}{u}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\\&=-2\cdot 1 \cdot 1 \\&=-2\end{align}

10voto

DonAntonio Puntos 104482

\lim_{x\to\ 0}\frac{\log\cos 2x}{x\sin x}\stackrel{\text{L'Hospital}}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\tan 2x}{\sin x+x\cos x}{}\stackrel{\text{L'H}}=\lim_{x\to 0}-\frac{4\sec 2x}{2\cos x-x\sin x}=-\frac{4}{2}=-2

10voto

Johannes Puntos 141

Me tink si usted trabaja de la siguiente manera, obtendrá la respuesta mejor(eso espero):

Al \alpha(x) es muy pequeña, \ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x) \ln\left(\cos(2x)\right)=\ln\left(1+(-2\sin^2(x)\right)\sim -2\sin^2(x)

Ahora tome su límite con este hecho de nuevo. Es -2.

2voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

\lim_{x\to0}\cos 2x=1 0 a diferencia de \sin x, por lo que no podemos escribir \lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(2\cos^{2}(x)-1)}{(2\cos^{2}(x)-1)} a utilizar \lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}y=1

En su lugar, podemos tratar de la siguiente manera: \frac{\ln(1-2\sin^2x)}{x\sin x}=(-2)\frac{\ln(1-2\sin^2x)}{(-2\sin^2x)}\frac{\sin x}x

2voto

Siméon Puntos 8691

Como x tiende a 0, \cos(2x) tiende a 1. Por lo tanto, el uso de \ln(1+u) \sim u, \sin u \sim u y 1 - \cos u\sim \frac{u^2}{2}, \frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x} \sim \frac{\cos(2x)-1}{x\times x} \sim \frac{-\frac{(2x)^2}{2}}{x^2} \sim - 2

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