Calcular el $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x}$

Question

Problemas con el cálculo de

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x}$$

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(2\cos^{2}(x)-1)}{(2\cos^{2}(x)-1)}\cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}\cdot\frac{(2\cos^{2}(x)-1)}{x^{2}}=0$$

La respuesta correcta es -2. Por favor, muestre donde esta vez he de error. Gracias de antemano!

Answer 1

De los límites conocidos puedes querer utilizar son, por $x\to 0$

$$\frac{\log(1+x)}x\to 1$$

$$\frac{\sin x }x\to 1$$

Con ellos, se obtiene

$$\begin{align}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(\cos 2x)}{x\sin x}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(1-2\sin ^2 x)}{-2\sin ^2 x}\frac{-2\sin ^2 x}{x\sin x}\\&=-2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(1-2\sin ^2 x)}{-2\sin ^2 x}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\\&=-2\lim\limits_{u\to 0}\frac{\log(1+u)}{u}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\\&=-2\cdot 1 \cdot 1 \\&=-2\end{align}$$

Answer 2

$$\lim_{x\to\ 0}\frac{\log\cos 2x}{x\sin x}\stackrel{\text{L'Hospital}}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\tan 2x}{\sin x+x\cos x}{}\stackrel{\text{L'H}}=\lim_{x\to 0}-\frac{4\sec 2x}{2\cos x-x\sin x}=-\frac{4}{2}=-2$$

Answer 3

Me tink si usted trabaja de la siguiente manera, obtendrá la respuesta mejor(eso espero):

Al $\alpha(x)$ es muy pequeña, $\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)$ $$\ln\left(\cos(2x)\right)=\ln\left(1+(-2\sin^2(x)\right)\sim -2\sin^2(x)$$

Ahora tome su límite con este hecho de nuevo. Es $-2$.

Answer 4

$\lim_{x\to0}\cos 2x=1$ $0$ a diferencia de $\sin x$, por lo que no podemos escribir $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(2\cos^{2}(x)-1)}{(2\cos^{2}(x)-1)}$ a utilizar $\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}y=1$

En su lugar, podemos tratar de la siguiente manera: $$\frac{\ln(1-2\sin^2x)}{x\sin x}=(-2)\frac{\ln(1-2\sin^2x)}{(-2\sin^2x)}\frac{\sin x}x$$

Answer 5

Como $x$ tiende a $0$, $\cos(2x)$ tiende a $1$. Por lo tanto, el uso de $\ln(1+u) \sim u$, $\sin u \sim u$ y $1 - \cos u\sim \frac{u^2}{2}$, $$ \frac{\ln(\cos(2x))}{x\sin x} \sim \frac{\cos(2x)-1}{x\times x} \sim \frac{-\frac{(2x)^2}{2}}{x^2} \sim - 2 $$