¿Permite el marco de la categoría nuevas lógicas?

Question

Me parece que un topos permite un concepto más amplio de subconjuntos que la decisión sí/no de una función característica en un entorno de teoría de conjuntos. Probablemente porque el clasificador de subobjetos no tiene que ser {0,1}.

Pero me pregunto, ¿no son todas las lógicas multivaluadas también parte de/pueden ser modeladas en la teoría de conjuntos? ¿Hay una nueva lógica que entra con topoi que no estaban antes? ¿Simplemente ha ayudado a descubrir nuevas ideas? Las cosas difusas, etc., ya existen en las "matemáticas convencionales de la teoría de conjuntos", ¿verdad?

Answer 1

La propia teoría de las categorías, y por tanto la teoría de los topos, puede formalizarse en la teoría de conjuntos(*). Así que, en un sentido débil, todo en la teoría de los topos está ya "en" la teoría de conjuntos. Por supuesto, la teoría de conjuntos puede formalizarse en la teoría de los topos utilizando la categoría Set y, por tanto, la teoría de conjuntos también está "en" la teoría de topos. La verdadera cuestión que importa es qué formalización es útil para un propósito concreto. Para algunos propósitos, la teoría de los topos proporciona un marco útil a las personas que la utilizan, y prefieren este marco sobre el marco equivalente en el que todo se reformula en términos de teoría de conjuntos.

El punto clave sobre la formalización en la teoría de conjuntos es que la teoría de categorías, y la teoría de topos, son sistemas axiomáticos formales, y cualquier sistema axiomático puede estudiarse utilizando la teoría de conjuntos como metateoría.

(*): Hay un problema menor de que algunas cosas en la teoría de topos pueden usar axiomas que parecen ser axiomas cardinales grandes desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Pero esto no es un impedimento para formalizar cosas en la teoría de conjuntos si simplemente asumimos los axiomas cardinales grandes necesarios.

Answer 2

La teoría de topos proporciona varios tipos de morfismos de topos, que permiten la comparación de modelos. La mayoría de las topos que estudiamos son, en efecto, clases de funciones que existen en algún modelo de lógica constructiva de orden superior. Estos modelos pueden describirse mediante la teoría de conjuntos. Pero desde esa perspectiva, es más difícil ver las relaciones entre los modelos.

No he leído el libro de Goldblatt, pero la principal crítica que he oído sobre él, es que no cubre los morfismos de topos. Deberías probar con "Sheaves in Geometry and Logic" de MacLane y Moerdijk.

Answer 3

No, no se pueden modelar todas las lógicas multivaluadas en la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos modela la lógica proposicional clásica, pero no modela una lógica en la que, por ejemplo, el principio de contradicción falla y su negación también. Todos los teoremas formales de cualquier lógica multivaluada existen dentro de la lógica clásica en el sentido de que si A viene como una fórmula en la lógica multivaluada, también ocurrirá en la lógica clásica y, por tanto, puede ser modelada por la teoría de conjuntos (lo contrario parece ser válido para algunas lógicas multivaluadas, pero apenas muchas de ellas). Sin embargo, el dominio de los valores de verdad difiere para una fórmula en una lógica multivaluada que en la lógica clásica.

Lo difuso NO existe dentro de lo convencional teoría de conjuntos las matemáticas. El axioma de extensionalidad no es válido para los conjuntos difusos.