Se trata de un abuso de la terminología que su libro parece hacer aún más confuso al utilizar una terminología algo no estándar. La siguiente es más estándar pero también confusa a su manera. Para lo que sigue, dejemos $X$ y $Y$ ser espacios de Banach.
A operador lineal delimitado de $X$ a $Y$ es una función $T: X \to Y$ que es lineal y normativamente continuo.
Un operador lineal sin límites de $X$ a $Y$ es un par $(T,D_T)$ donde $D_T$ es un subespacio lineal de $X$ y $T: D_T \to Y$ es un mapa lineal.
Comentarios:
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Un operador lineal sin límites de $X$ a $Y$ no es en general una función de $X$ a $Y$ y la definición no dice que lo sea. La frase "de $X$ a $Y$ "es parte de lo que se está definiendo.
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Debido a que los operadores ilimitados no son funciones, hay que tener un cuidado extra: dos operadores lineales ilimitados de $X$ a $Y$ no puede ser necesariamente añadido, y dados los operadores lineales sin límites de $X$ a $Y$ y de $Y$ a $Z$ no tienen necesariamente una composición.
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"Sin límites" significa en realidad "no necesariamente limitado"; cada operador lineal limitado es un operador lineal sin límites.
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Algunos autores exigen que el dominio $D_T$ de $T$ es un denso subespacio de $X$ . Con esta convención se pueden concebir operadores que no están ni limitados ni sin límites. Cuando esto no forma parte de la definición, el supuesto se añade mediante la frase "densamente definido".
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Los aditamentos pueden ser muy confusos: hay operadores sin límites densamente definidos de tal manera que el mayor dominio posible de definición para el aditamento es $\{0\}$ .
La única manera real de ordenar todo este lenguaje es mirar algunos ejemplos y resultados. La teoría fue inventada por Von Neumann en los años 20 para dar un sentido preciso a lo que los físicos hacían en la mecánica cuántica. Se habían topado con la idea de que las nociones clásicas como la posición y el momento pueden ser vistas provechosamente como operadores lineales en el espacio de Hilbert que satisfacen ciertas relaciones. Sin embargo, los matemáticos se dieron cuenta de que no hay operadores limitados en el espacio de Hilbert que satisfagan estas relaciones, y en particular el uso de la teoría espectral por parte de los físicos no tenía una base matemática. Así que Von Neumann inventó el lenguaje de los operadores ilimitados para dar sentido a los operadores que los físicos estaban haciendo. En particular, generalizó el teorema espectral a ciertas clases de operadores ilimitados.
Tal vez ayudaría ver un ejemplo rápido. Considere el operador $D = i \frac {d}{dx}$ un mapa lineal $C_{per}^ \infty [0,1] \to C_{per}^ \infty [0,1]$ el espacio de funciones periódicas suaves en el intervalo $[0,1]$ . Fíjese que $D$ tiene un rico suministro de eigenfunciones: el ajuste $e_n(x) = e^{-2 \pi i n x}$ encontramos que $e_n$ es una función propia de $D$ con eigenvalor $2 \pi n$ . El conjunto de funciones $\{e_n\}$ forma una base orthonormal para el espacio Hilbert $L^2[0,1]$ así que aunque $D$ no es un operador en $L^2[0,1]$ podemos en cierto sentido diagonalizarla y usar las técnicas espaciales de Hilbert para estudiarla.
Por el contrario, considera que el mismo operador $D = i \frac {d}{dx}$ esta vez visto como un mapa lineal $C_0^ \infty (0,1) \to C_0^ \infty (0,1)$ el espacio de las funciones suaves en el intervalo $[0,1]$ que se desvanecen en $0$ y $1$ . Ahora las únicas eigenfunciones para $D$ son funciones constantes, por lo que no está claro cómo se podría diagonalizar $D$ . En secreto sabemos que deberíamos ampliar el dominio de $D$ para incluir todas las funciones periódicas, pero esto no es inmediatamente obvio. Parte del logro de Von Neumann fue entender abstractamente por qué $D$ con el dominio $C_{per}^ \infty [0,1]$ es "bueno" pero $D$ con el dominio $C_0^ \infty (0,1)$ no lo es.
