Donde puedo encontrar álgebra lineal descrito en un pointfree manera?

Question

Claramente, algunos de álgebra lineal que puede ser descrito en un pointfree de la moda. Por ejemplo, si $X$ $R$- módulo de e $A : X \leftarrow X$ es un endomorfismo de $X$, entonces podemos definir que el "espacio propio de la función de $A$" es el mapa de $\mathrm{Eig}_A : \mathrm{Sub}(X) \leftarrow R$ descrito por la siguiente ecualizador.

$$\mathrm{Eig}_A(\lambda) = \mathrm{Eq}(A,\lambda \cdot \mathrm{id}_X)$$

De hecho, esto tiene sentido en cualquier $R$-$\mathbf{Mod}$ enriquecido categoría con ecualizadores.

De todos modos, me hizo buscar un poco en google para "pointfree álgebra lineal" y "sin sentido de álgebra lineal", etc., y nada de lo que realmente ocurrió, a excepción de un artículo llamado "Punto-Libre, Libre de Hormigón de Álgebra Lineal", que no es en realidad lo que estoy buscando. Así que de todos modos...

Pregunta. Donde puedo encontrar álgebra lineal descrito en un pointfree manera?

Answer 1

Un libro de texto de álgebra conmutativa.

Aquí es una mejor descripción de cómo subespacios propios de trabajo desde esta perspectiva: un par formado por una $R$-módulo y un endomorfismo de que es la misma cosa como un $R[X]$-módulo. Si $R$ es un campo, entonces finitely generadas $R[X]$-los módulos se clasifican por la estructura teorema de finitely generado los módulos a través de un PID. Se trata de una torsión de la parte libre y una torsión de la parte, que es una suma directa de los módulos de la forma $R[X]/f(x)^d$ donde $f(X) \in R[X]$ es irreductible.

Si $R$ es algebraicamente cerrado de campo, la única $f(X)$ que se producen son la lineal de los polinomios $f(X) = X - \lambda$, y el $(X - \lambda)$(potencia) de torsión submódulo es, precisamente, el (generalizada) $\lambda$-espacio propio. Pero si $R$ no es algebraicamente cerrado o, lo que es peor, no es un campo, entonces cosas más complicadas que puede suceder, y en consecuencia la idea de subespacios propios son de menor utilidad.

Answer 2

Usted no quiere "pointfree", que, obviamente, desea "categórico" o "categoría teórica" o simplemente "generalizado". Observe también que la categoría de teoría ofrece la noción de una generalizada elemento o punto. Por ejemplo, una generalizada punto de su espacio propio $\mathrm{Eig}_{\lambda}(A)$ (lo llamaron $\mathrm{Eig}_A(\lambda)$, lo cual no es común) es en realidad una generalizada punto de $x \in X$$A(x)=\lambda x$. (Yo he usado generalizada elementos ampliamente en mi trabajo, porque de esa manera podía encontrar y hacer cálculos con elementos que de otra manera se han convertido en enormes intratable diagramas.) Respecto a la pregunta, se tendría que definir "álgebra lineal en un punto de manera libre" en primer lugar. Generalmente álgebra lineal es visto como el estudio de los espacios vectoriales lineales y mapas, y, obviamente, muchas construcciones puede ser fundido en el contexto de la categoría de espacios vectoriales lineales y mapas, y luego se generaliza a otras muchas categorías. Como usted dijo, el subespacio propio construcciones de obras para todos los lineales de las categorías con los ecualizadores. Ok, pero, ¿qué acerca de la característica de polinomios, formas normales, etc.? Probablemente las categorías tienen que ser muy especiales con el fin de generalizar álgebra lineal. Anders Kock ha hecho algo en esa dirección.