Son $\text{SO}(3)$ y $S^2 \times S^1$ ¿homotopía equivalente?

Question

Hay una proyección natural $\text{SO}(3) \to S^2$ que es la proyección al espacio del coset de un subgrupo $\text{Stab}(p)$ para cualquier $p \in S^2$ bajo la acción estándar del grupo. La preimagen de cualquier punto de $S^2$ es un círculo.

Es $\text{SO}(3)$ equivalente en homotopía a $S^2 \times S^1$ ?

Answer 1

La respuesta es ¡NO!

Una presentación topológica diferente de $SO(3)$ como $\mathbb RP^3$ sería útil para completar esta prueba. Entonces, ¿cómo demostrar que estos dos espacios son homeomorfos? Obsérvese que cualquier matriz $A\in SO(3)$ es una matriz rotacional preservadora de la orientación que actúa sobre $\mathbb R^3$ . Dado que se trata de un $3\times 3$ por lo que tiene un valor propio real, y correspondiente a este valor propio, la matriz fija el vector propio en particular la línea generada por el vector propio. Así que podemos pensar en cualquier elemento de $SO(3)$ como una rotación de unidad cerrada de 3 discos con un eje fijo. Ahora definimos un mapa $\phi :D^3\to SO(3)$ envía un vector no nulo $x$ a la rotación a través del ángulo de $|x|\pi$ en torno al eje que une el origen y $x$ . Ans observar que los puntos antípodas en la frontera son representan el mismo elemento, y en el interioi es un $1-1$ -mapa. Así que ahora si consideramos el mapa cotizante que cotizan los puntos antípodas de la frontera del disco unitario, obtenemos un homeomorfismo $\bar{\phi}: \mathbb RP^3\to SO(3)$ .

Ahora desde aquí se puede ver fácilmente que $SO(3)$ y $S^2\times S^1$ no son homotópicamente equivalentes, ya que sus grupos fundamentales son diferentes.