Qué número es mayor, $2^\sqrt2$ o $e$?

Question

Reclamo: $\color{red}{2^\sqrt2<e}$

Nota: $2^\sqrt2=e^{\sqrt2\ln2}$

Enfoque diferente:$e^{x-1}>x^\sqrt x$$x>2$.

Deje $f(x) = x -1 - \sqrt{x} \ln x$. Tenemos $f'(x) = 1 - \frac{ \ln x }{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{\sqrt{x}}$. Por inspección, tenga en cuenta que $f'(1)=0$ y ya para $x>1$, pick $x=4$, por ejemplo, tenemos $f'(4)=1- \frac{ \ln 4 }{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{ \ln 2 }2 > 2$, entonces sabemos $f(x)$ es el aumento de $x> 1$, Lo que

$$f(x) > f(1) \implies x - 1 - \sqrt{x} \ln x > 0 \implies x - 1 \geq \sqrt{x} \ln x \implies e^{x-1} > x^{\sqrt{x}}$$

Poner a $x=2$, obtenemos $$e>2^\sqrt2$$ ¿Qué piensas acerca de este enfoque? Hay una manera más fácil?

Answer 1

Para mostrar $2^{\sqrt{2}}<e$, es suficiente para mostrar que $\sqrt{2}\ln 2 < 1$ o $\ln 2 < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Observe que $\ln 2 = \int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}\,dx}$, y por Cauchy-Schwarz tenemos $$\ln 2 = \int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}\cdot 1\,dx}\le\left(\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x^2}\,dx}\right)^{1/2}\left(\int\limits_{1}^{2}{1\,dx}\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}\left(1\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ La igualdad no puede sostener como $(1/x)/1$ no es constante, por lo que se deduce que el $\ln 2 < \frac{1}{\sqrt{2}}$, como se desee.

Answer 2

La desigualdad de $e>2^\sqrt2$ es equivalente a $$e^{\sqrt{2}}>(2^\sqrt2)^{\sqrt{2}}=2^2=4.$$ Ahora $$e^{\sqrt{2}}>\sum_{k=0}^5\frac{(\sqrt{2})^k}{k!}=\frac{13}{6}+\frac{41\sqrt{2}}{30}>\frac{13}{6}+\frac{4}{3}\cdot\frac{7}{5}=\frac{121}{30}>4$$ debido a $\sqrt{2}>7/5$ (equivalente a $2\cdot 5^2>7^2$).

Answer 3

La aproximación de la integral por el área de un trapecio que nos dan para $x>1$ $$\log(x)=\int_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}<(x-1)\frac{1+\frac1x}2=\frac{x^2-1}{2x}$$ So $$\sqrt{2}\log(2)=2\sqrt{2}\log(\sqrt{2})<1.$$

Answer 4

De otra manera:

desde $e^x$ es creciente y $\sqrt2\approx1.414213$ hemos $$(2^{\sqrt2})^{\sqrt2}=4\lt e^{1.4}\approx4.055199\lt e^{\sqrt2}$$ Es de la siguiente manera $$\left((2^{\sqrt2})^{\sqrt2}\right)^{\frac{1}{\sqrt2}}\lt(e^{\sqrt2})^{\frac{1}{\sqrt2}}\iff2^{\sqrt2}\lt e$$

Answer 5

Tengo un enfoque de toma de registros llegamos $1,\sqrt {2 }ln (2)$, a continuación, utilizando la serie de expansión de $\ln (\frac{1+x}{1-x})$ $ln (2)$ tenemos $x=1/3$ la serie es $2 (x+\frac {x^3}{3} ...)$ obtenemos $\sqrt {2}ln (2) =1.4(2)(\frac {1}{3}+\frac {1}{81} ) <1$ $e>2^{\sqrt {2} }$