Lo que el profesor dijo que se parece algo obviamente falso. Por ejemplo, en la dimensión $2$ ya hay hasta homeomorphism infinitamente muchos orientable, conectado, compacto colectores. La característica de Euler (o, equivalentemente, el género) es un invariante topológico que los distingue. Si dos colectores no son homeomórficos definitivamente no son diffeomorphic. Si se permite que el colector de ser desconectado, a continuación, incluso en la dimensión $1$ distintos sindicatos de los círculos de rendimiento de una familia infinita de compacto, orientable colectores.
Lo que el profesor podría haber sido refiriendo es que el $\Bbb R^n$, hasta diffeomorphism, exactamente una suave estructura ("estándar") en cualquier dimensión $n\neq 4$. En la dimensión $4$, se sigue de trabajo por Freedman (en propiedades topológicas de $4$-colectores) y Donaldson (en propiedades de $4$-colectores que puede detectar la suave estructura) que hay una cantidad no numerable de nondiffeomorphic suave estructuras en $\Bbb R^4$: hay muchos "falsos" o "exóticas" $\Bbb R^4$'s.
El trabajo por Donaldson ha cerca de las conexiones de la física (demuestra sus principales resultados el uso de Yang-Mills teoría o de Seiberg-Witten teoría, que proporcionan invariantes que pueden distinguir nondiffeomorphic suave estructuras). Sin embargo, actualmente no hay corriente interpretación física por el hecho de que no son falsos $\Bbb R^4$'s. No está claro que no es cualquier físico relevancia a este hecho.
Como un divertido aparte, exóticos esferas son también un tema de investigación en matemáticas. El documento que enlaza muestra que en las dimensiones de $5-61$, la mayoría de las esferas de admitir exóticas estructuras. Por lo tanto, el fenómeno de la "exótica estructuras" en los colectores está lejos de ser único, de dimensión cuatro. Tenga en cuenta que el problema está abierta en la dimensión $4$. Como se señaló en los comentarios por ACuriousMind, hay un papel por Witten que le da un intento de interpretar físicamente exóticas esferas, aunque no sé nada acerca de sus argumentos.
La citada generalmente razón por la dimensión de $4$ es especial, tiene que ver con determinadas diferencial-teoremas geométricos de extraordinaria potencia que requieren de un "espacio de maniobra", lo que les hace trabajar sólo en las dimensiones de $\geq 5$. Hasta donde yo sé, el h cobordism teorema por Smale es uno de los principales ejemplos de este fenómeno. Por lo tanto, $n=4$ es el de mayor dimensión en la que la "alta dimensión de los métodos de" no trabajo. Dimensiones de la $1$ $2$ son un poco más fácil trabajar con ellos porque los fenómenos que ocurren no son comparativamente "domar". A partir de una forma geométrica y topológica punto de vista, las cosas empiezan a ponerse realmente interesante en la dimensión $3$, mientras que $4$ es "salvaje". No sé mucho más que eso, pero hay varios libros excelentes en $3$ - $4$- colectores (para el primero, sé especialmente Thurston del libro es excelente, mientras que el segundo tiene libros por Donaldson, Freedman, Freed & Uhlenbeck, Gompf & Stipsicz, etc.).
