$P(x)=x^{4}-4x^{3}+12x^{2}-24x+24$ . Demuestra: $P(x)=|P(x)|$
No sé por dónde empezar. ¿Cuál sería el primer paso?
Respuestas
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En esta pregunta, tienes que intentar completar dos casillas, a saber: $$ x^4-4x^3 + 12x^2-24x+24 = x^4 -4x^3+6x^2-4x+1 + 6x^2-20x+23 \\ = (x-1)^4 + 6x^2 -20x+23 $$
Ahora, como resulta, podemos completar el segundo cuadrado, y: $$ 6x^2-20x+23 = \frac{2}{3}(3x-5)^2 + \frac{19}{3} $$
Por lo tanto, podemos reescribir toda la expresión como $$ x^4-4x^3 + 12x^2-24x+24 = (x-1)^4 + \frac{2}{3}(3x-5)^2 + \frac{19}{3} $$
Es una suma de expresiones positivas, por lo que siempre es positiva, por lo que $P(x) = |P(x)|$ .
Henry W
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Sólo por diversión, observe que $$ P(x) = \begin{bmatrix} x^2 \\ x \\ 1 \end{bmatrix}^\intercal \begin{bmatrix} 1 && -2 && 0 \\ -2 && 12 && -12 \\ 0 && -12 && 24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^2 \\ x \\ 1 \end{bmatrix} = 24 - 24x + 12x^2 - 4x^3 + x^4 $$ y como la matriz del medio es semidefinida positiva (Esto se puede determinar a partir de los determinantes de las submatrices, etc.), se deduce inmediatamente $P(x) \geq 0$ .
Sil
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He aquí una solución alternativa. Puede ver que $P(x)$ es positivo si $P(x+c)$ es positivo para todos los $x$ (piensa en el porqué). Así que se puede simplificar ligeramente el polinomio mediante dicha sustitución, por ejemplo
$$P(x+1) = x^4+6 x^2-8x+9$$
Ahora es fácil ya que puedes comprobar que $6x^2-8x+9$ corresponde a una parábola con mínimo global positivo, por lo que todos sus valores son positivos. Como también $x^4$ es no negativo, se puede combinar para ver que todo el polinomio es positivo.
Si quieres ser un poco más explícito, puedes reescribir la parábola de la derecha para obtener
$$P(x+1) = x^4 + 6\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{19}{3}$$
user15381
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Yves Daoust
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Completando el cuadrado para $x^4+12x^2\cdots$ ,
$$P(x)=(x^2+6)^2-4x^3-24x-12=(x^2+6)^2-4x(x^2+6)-12\\ =(x^2+6)(x^2-4x+6)-12.$$
El valor mínimo del primer factor es $6$ y la del segundo es $2$ .
O completar el cuadrado para $x^2(x^2-4x\cdots)$ ,
$$P(x)=x^2(x-2)^2+8x^2-24x+24=x^2(x-2)^2+8(x^2-3x+3).$$
Como puedes comprobar fácilmente, el trinomio de la derecha no tiene raíz real.
O completando la cuarta potencia para $x^4-4x^3\cdots$ ,
$$P(x)=(x-1)^4+P(x)-(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)\\=(x-1)^4+6x^2-20x+23$$ y el trinomio de la derecha no tiene raíz real.
