Cubriendo espacios de $S^1 \vee S^1$.

Question

Puedo mostrar que $\pi_1(S^1 \vee S^1)$ es el grupo $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$, es decir, puedo demostrar van Kampen del teorema, que se reduce a 1. equivalencia de categorías entre las tapas de un colector, y se establece con una acción de grupo fundamental, y 2. el encolado de las cubiertas.

Pregunta. Para cada uno de los siguientes cubriendo espacios de $S^1 \vee S^1$, ¿cuál es el correspondiente subgrupo de $\pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$, y es la portada es regular (es decir, normal) o no?

Answer 1

Esta pregunta está relacionada con la, a grandes rasgos, cómo "simétrica" a tu cubrir el espacio es. Específicamente, usted conoce a un subgrupo será normal si el cociente es en realidad un grupo. En la cobertura de los espacios, esto corresponde a ser tener homeomorphisms de cubrir el espacio que deja el espacio cubierto afectada a través de la cobertura de mapa. Este tipo de pregunta da 2 maneras de argumentar la solución, ya que hay una orden de inversión bijection entre conectadas con los espacios y los subgrupos del grupo fundamental.

Topológicamente: Para este ejemplo, voy a elegir el punto de referencia $S^1\vee S^1$ a ser el punto de la cuña, $b_0$. A continuación, para cada cubrir el espacio $p:E\rightarrow S^1\vee S^1$, podemos elegir nuestro favorito basepoint $e_0\in p^{-1}(b_0)$, y determinar si para cada una de las $e\in p^{-1}(b_0)$ hay una homeomorphism $h_e:E\rightarrow E$, sujeto a $h_e(e_0)=e$$p\circ h_e=p$.

Algebraicamente: terminamos con $\pi_1(E,e_0)\hookrightarrow\pi_1(S^1\vee S^1, b_0)$, y la identificación de $\pi_1(E,e_0)$ con su imagen, obtenemos $\pi_1(S^1\vee S^1, b_0)/\pi_1(E, e_0)$ es un grupo de iff $\pi_1(E, e_0)$ es normal en $\pi_1(S^1\vee S^1, b_0)$ fib $p:E\rightarrow B$ es normal, a cubrir el espacio.

Para la primera se ocupa de espacio, elijo $e_0$ a ser el centro de la imagen dibujada, y con sólo mover la imagen a la izquierda/derecha/arriba/abajo, podemos ver un homeomorphism del espacio tomando el centro de cruzar a cualquier otro cruce que elegir, preservando al mismo tiempo el espacio. Sin embargo, este caso es trivial en el álgebra de lado, ya que el que cubre el espacio es simplemente conectado, por lo que ha trivial grupo fundamental, por lo que corresponde a una normal (trivial) subgrupo de $\pi_1(S^1\vee S^1,b_0)$.

El segundo abarca el espacio, sin embargo, no es normal, ya que casi cualquier homeomorphism de nuestro tipo no puede conservar el mismo bucle. En el álgebra lado, esto nos dice que $\langle a \rangle<\langle a,b\rangle$ no es un subgrupo normal, lo cual es cierto ya que $bab^{-1}\neq a^n$ cualquier $n$.

Ahora, la tercera cubrir el espacio tiene el deseado de simetría, ya que sólo hay dos elementos en la preimagen de nuestro punto de base, y la homeomorphism de tomar uno para el otro es un simple reflejo (de conmutación de los lados izquierdo y derecho) de nuestra imagen a través de su centro. En el álgebra lado, esto nos dice que un subgrupo de $\pi_1(S^1\vee S^1,b_0)$ de índice 2 es normal, lo que siempre es cierto.

El final de cubrir el espacio también es normal, ya que podemos enviar a cualquier punto de base a cualquier otra a través de una traducción de nuestra imagen. En el álgebra lado, esta cubriendo el espacio (el etiquetado de todos los niveles inferiores de la mitad de los círculos $a$ que se mueve de izquierda a derecha, y todos los de la mitad superior de los círculos $b$ que se mueve de derecha a izquierda) se corresponde con el subgrupo $\langle a^n(ab)a^{-n} \colon n\in\Bbb Z\rangle<\langle a,b\rangle$, lo cual es normal debido a que $a(a^n(ab)a^{-n})a^{-1}=a^{n+1}(ab)a^{-(n+1)}$ $$b(a^n(ab)a^{-n})b^{-1}=(a^{-1}(ab)a)(a^{n-1}(ab)a^{-(n-1)})(a^{-1}(ab)a)^{-1},$ $ ambos de los cuales están en el subgrupo.

Answer 2

Si nos fijamos en la tabla en el libro de Allen Hatcher, encontrar grupos que corresponden a todos los subgrupos que usted menciona. El capítulo 1 es el Grupo Fundamental de la

He aquí su definición de la normal de la cubierta:

Cubrir con un espacio de $p: Y \to X$ es normal si para cada una de las $x \in X$ y cada par de ascensores $y_1, y_2 \in p^{-1}(x)$ hay una cubierta de transformación de $y_1 \to y_2$.

Proosition 1.39 Un cubriendo el espacio es normal iff la imagen de $p_\ast: \pi_1(Y) \to \pi_1(X)$ es un subgrupo normal en $\pi_1(Y)$.

Todavía hay un poco de trabajo que hacer, ya sea la manipulación de los símbolos algebraicos en el grupo libre $\langle a, b, a^{-1}, b^{-1}\rangle$ o razonamiento acerca de cómo cambiar el punto de partida de nuestro bucle se comporta en la cubierta del espacio. Al menos espero que usted puede conseguir comenzado.