¿Existe un número finito de grupo con los pedidos de los elementos $1$, $2$, ..., $8$ (pero no hay elementos de orden más grande)?

Question

Para que $n$ ¿existe un número finito de grupo con los pedidos de los elementos $1$, $2$, $\ldots$, $n$ (pero sin elementos de orden más grande)?

Yo podría encontrar grupos para $n=1,2,\ldots,7$:

• Para $n=1,2,3,4$ podemos tomar el grupo simétrico $S_n$;
• Para $n=5$ podemos tomar la alternancia de grupo $A_6$;
• Para $n=6$ podemos tomar el grupo simétrico $S_5$ (o $S_6$);
• Para $n=7$ podemos tomar la alternancia de grupo $A_7$.

Hace un grupo, también existen para los mayores valores de $n$?

Por Lagrange del teorema sabemos que el orden del grupo debe ser un múltiplo de la lcm de $1$, $2$, $\ldots$, $n$. Además, el grupo no puede ser abelian ya que en un grupo abelian que contiene elementos de orden $a$ $b$ también hay un elemento de orden $\text{lcm}(a,b)$.

Answer 1

El conjunto de órdenes de los elementos de un grupo de $G$ se llama el espectro de $G$. Una clasificación completa de todos los grupos finitos con el espectro, $(1,\dots,n)$ fue realizado por Rolf Brandl y Shi Wujie en grupos Finitos, cuyo elemento órdenes son números enteros consecutivos (Diario de Álgebra, Volumen 143, número 2, noviembre de 1991, Páginas 388-400).

De acuerdo a este artículo, la respuesta a tu pregunta es sí; no hay un único grupo finito con el espectro,$(1,...,8)$, es decir, $PSL(3,4)\langle\beta\rangle$ donde $\beta$ es un unitario automorphism.

$8$ es sin embargo el más grande de $n$ para los que existe un número finito de grupo con el espectro,$(1,...,n)$.

Otro hecho interesante es que el $A_7$ es el único grupo finito con el espectro,$(1,...,7)$.

Una relacionada con la respuesta sobre la Mathoverflow se puede encontrar aquí.