¿Qué forma tiene un Calippo?

Question

La paleta Calippo™ tiene una forma específica, que yo describiría como un círculo de radio $r$ y un segmento de línea $l$ , típicamente de longitud $2r$ , eso es a distancia $h$ del círculo, paralelo al plano en el que se encuentra el círculo, con su punto medio en una línea perpendicular que pasa por el centro del círculo.
La forma en sí consiste en líneas que conectan el círculo con el segmento de línea.

1. ¿Es necesario especificar cómo los puntos del mapa circular a un punto del segmento de línea?
   Obviamente Los puntos de la circunferencia que se encuentran directamente debajo de los puntos finales del segmento de la línea deben estar "en línea recta" con esos puntos finales. Los puntos del círculo situados a mitad de camino entre estos, en $\tfrac{\pi}{2}$ debe corresponder al punto medio del segmento de línea.
   Pero intuitivamente debería haber un mapeo que diera la forma "más externa" de tal manera que aunque cada punto del círculo esté conectado a cada punto del segmento de línea, esas líneas nunca salgan de "la paleta".
   Gracias a un comentario de Mark S. ahora sé que esto se llama casco convexo del círculo y del segmento de línea.

2. Dada esta descripción, ¿cómo puedo calcular la superficie y el volumen de esta forma?

3. ¿Tiene esta forma un nombre oficial?
   No es el cincel redondo como se muestra en esta respuesta ya que le falta el borde en forma de media elipse.

Answer 1

Es difícil distinguirlo en la imagen, pero a partir de la descripción "La forma en sí consiste en líneas que conectan el círculo con el segmento de la línea", podría representar la forma de esta manera:

Supongamos que el círculo tiene un radio $r$ y que la forma tiene una altura $h$ . Si las líneas de superficie que unen el segmento con el círculo se encuentran en un plano perpendicular a ese segmento, entonces la figura tiene este aspecto:

Entonces, podemos parametrizar $P_\theta$ en el círculo, y el punto de acompañamiento $Q_\theta$ en el segmento ...

$$P_\theta = (r \cos\theta, r \sin\theta, h) \qquad Q_\theta = ( r\cos\theta, 0, 0)$$

... para que la línea entre ellos tenga la ecuación

$$P_\theta + t \; (Q_\theta - P_\theta) : \begin{cases} x = r \cos\theta \\ y = r (1-t) \sin\theta \\ z = h (1- t)\end{cases}$$

Eliminación de los parámetros $\theta$ y $t$ se obtiene esta fórmula para la superficie:

$$x^2 z^2 + y^2 h^2 = r^2 z^2 \tag{1}$$

Nótese que la ecuación (así como la figura) indica que las curvas de nivel de la superficie son elipses, con radio mayor constante ( $r$ ) y un radio menor que varía linealmente ( $z r/h$ ).

Ahora, el volumen y la superficie de la forma se pueden determinar a partir de esta función:

$$y = f(x,z) = \frac{z}{h} \sqrt{r^2-x^2} \quad \tag{2}$$ sobre la región rectangular determinada por $-r \leq x \leq r$ y $0\leq z \leq h$ .

---

Editar. OP ha indicado, en comentarios con @YvesDaoust, que la forma deseada es la conoid que efectivamente se ajusta a la superficie descrita por $(1)$ . (La parametrización dada en el artículo de Wikipedia coincide con $(1)$ , para $r = 1$ y $h = z_0$ y bajo la transformación de coordenadas $z \to z_0-z$ .)

La entrada de Wikipedia afirma que el volumen del conoide es $\frac{\pi}{2}r^2 h$ . Esto se confirma fácilmente a partir de $(2)$ ...

$$V = \frac{2}{h} \int_{0}^{h} z \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx dz = \frac{2}{h} \int_{0}^{h} \frac{\pi}{2} r^2 z dz = \frac{2}{h}\cdot \frac{\pi}{4} r^2 h^2 = \frac{\pi}{2}r^2 h \tag{3}$$

(donde hemos reconocido la $x$ integral como dando el área del semicírculo de radio $r$ ).

Para la superficie, observamos que $$f_x = \frac{-xz}{h \sqrt{r^2-x^2}} \qquad\qquad f_z = \frac{1}{h}\sqrt{r^2-x^2}$$ para que $$\begin{align} S &= 2\;\int_{0}^{h} \int_{-r}^{r} \sqrt{(f_x)^2 + (f_z)^2 + 1\;}\; dx dz \\ &= \frac{2}{h}\;\int_{0}^{h} \int_{-r}^{r} \;\sqrt{\frac{ h^2 (r^2-x^2) + (r^2-x^2)^2 + x^2 z^2}{r^2 - x^2}\;} \; dx dz \end{align}$$

Esto es un poco más difícil de evaluar simbólicamente. Tendré que volver a ello.

Answer 2

1. Sí, hay que especificar cómo se mapean el círculo y el segmento entre sí.

---

Nunca he visto un Calippo, así que sólo puedo suponer que utiliza el mapa "obvio". Es decir, si alineamos el segmento en el eje x, el mapa envía cada punto del círculo (x,y) a (x,0). Si es así, calcular el volumen es muy fácil (basta con observar la diferencia de secciones perpendiculares al eje x con las mismas secciones de un cilindro), aunque calcular la superficie no es tan sencillo.

Sin embargo, si se utiliza un mapa menos obvio se puede llegar a otros resultados. Por ejemplo, si se mapea toda la circunferencia menos una pequeña porción del segmento, se puede hacer que la figura se acerque arbitrariamente en volumen a una pirámide.

Así que hasta que no se defina el mapa, no se puede responder a las preguntas nº 2 y nº 3. Me resultaría fascinante saber en qué circunstancias se podría calcular explícitamente la superficie/volumen dado un mapa explícito, pero eso está muy por encima de mi capacidad de respuesta.

Answer 3

Ya que estamos en ello, también podemos ver el casco convexo $C$ del disco $D_r$ y el segmento $\sigma$ dispuestos como $$D_r:=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leq r^2, z=0\}\>,\qquad\sigma:=\{(s,0,h)|-r\leq s\leq r\}\ .$$ El conjunto $C$ es la unión de todos los conos sólidos con puntas en $\sigma$ y la base $D_r$ . El avión $z=th$ , $0\leq t\leq1$ interseca cualquier cono de este tipo en un disco de radio $r(1-t)$ con centro en la línea paralela a $(1,0,0)$ a través del punto $(0,0,th)$ . La unión de estos discos es una figura en forma de estadio delimitada por dos semidiscos de radio $r(1-t)$ y dos segmentos paralelos de longitud $2rt$ a distancia $2r(1-t)$ entre sí. El área de esta forma se calcula entonces como $$A(t)=\pi r^2(1-t)^2+4r^2t(1-t)\qquad(0\leq t\leq1)\ ,$$ de modo que obtenemos $${\rm vol}(C)=h\int_0^1 A(t)\>dt={r^2 h\over3}(2+\pi)\approx1.714\>r^2h\ ,$$ mientras que el conoide tiene un volumen $\approx1.571\>r^2h$ , sobre $8.35\%$ menos.

La superficie $\partial C$ consiste en dos triángulos isósceles planos, partes de los dos mantos cónicos exteriores y $D_r$ . Debería ser posible calcular ${\rm area}(\partial S)$ explícitamente también.

Answer 4

Creo que la forma de "Calippo popsicle" es como un cincel redondo. Hubo una pregunta como esta antes y esto podría ayudarte: ¿Existe un nombre para una forma 3D que parece un círculo visto desde un eje, un cuadrado desde otro y un triángulo desde el tercero?

Answer 5

Se muestran dos planos de corte simétricos al eje del cono que se encuentran por debajo de su vértice antes de eliminar la Región por encima de los planos. Lo que queda es como la forma de Calippo de diferente proporción geométrica.

EDIT1:

Si $ 2r,2w, h $ ,la concurrencia de generadores de conos rectos se indican como dados, entonces la forma truncada es únicamente dado como parte del cono de ángulo semivertical= $ \tan^{-1}\dfrac{r-w}{h}.$

EDITAR 2:

Oh, puede que te refieras a una forma como un tubo largo de pasta de dientes ¿conoide derecho o izquierdo? página 61, DJ Struik, superficie reglada de parametrización

$$ (x,y,z)= ( r \cos\theta, r \sin \theta, f(\theta) \,) $$

$$ f(\theta) = a \theta + b $$

con la métrica

$$ ds^2 = dr^2 + (r^2+f^{\prime2})\, d\theta^2 $$

El caso especial $ \pi r = 2 w $ es fácil, se obtiene por isometría aplanamiento un círculo a un diámetro durante la fabricación.