¿Cuál es la diferencia entre el$∀x\,∃y\,L(x, y)$$∃y\,∀x\,L(x, y)$?

Question

1. Todo el mundo ama a alguien. $∀x\,∃y\,L(x, y)$

2. Hay alguien a quien todo el mundo le encanta. $∃y\,∀x\,L(x, y)$

¿Cuál es la diferencia entre estas dos frases? Si son el mismo, ¿se puede cambiar de $\exists y$$\forall x$?

Answer 1

En 1, todo el mundo ama a alguien, se lo $y$ o $z$. En la 2, todo el mundo ama a $y$.

2 es mayor que 1: 2 implica 1, pero no a la inversa.

Answer 2

Llego tarde a la fiesta pero: reemplazar "ama a alguien" con "tiene a alguien como una madre".

Eso tiene una madre.

vs

Hay alguien que está todo el mundo de la madre.

?????

Answer 3

Eso es un gran ejemplo de por qué los cuantificadores no conmutan! Por el bien de la simplicidad, suponga que todo el mundo está casado, y todo el mundo ama a su cónyuge. A continuación, la primera fórmula es satisfecho. Sin embargo, no hay ninguna razón para pensar que la segunda fórmula se satisface; de hecho, podría ser que la gente sólo el amor de sus esposos, de modo que no hay nadie en el mundo, que es amado por todo el mundo.

Answer 4

Ya hay algunas fantásticas respuestas aquí. Pero yo quería añadir una discusión acerca de por qué los cuantificadores no viaje, y lo que significa cuantificadores.

Entonces, ¿qué doe, nos referimos a: $\forall a \ \exists \, b \ P(a, b)$? Bien, esto significa que si he de elegir para corregir $a$, teniendo en cuenta esta información, puedo encontrar una $b$ ha $P(a,b)$ ser verdad. Es decir, $b$ es dependiente de $a$. Para hacer esto claro, a veces podemos escribir:

$$ \forall a \ \exists \, b(a) \ \ P(a, b) \qquad \text{or alternatively} \qquad \forall a \ \exists \, b_a \ \ \ \ P(a, b) $$

Por el contrario, $\exists b \ \forall a \ P(a, b)$ quiere decir, que sin el conocimiento de $a$, puedo encontrar una $b$ que satisface $P(a, b)$ - o, en otras palabras, no se puede encontrar una $b$ trabajo de todos los $a$.

En esencia: En el primer caso, se puede pensar de $b$ como una función de la $a$ - podría ser diferente $b$ por cada $a$. En el segundo caso, debemos tener la $b$ puede ser constante, es decir, independiente de la elección de $a$.

Answer 5

Todo el mundo le gusta algo de dulce.

Hay una dulce, querido por todos.

Primero permite la interpretación que dulce es del agrado de quien es la elección de cada uno.

La segunda frase que dice que hay una universalmente gustó dulce.