Pregunta básica sobre $\sup_{x\neq 0}{} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1}{\|Ax\|}$, $x \in\mathbb{R}^n$

Question

Estoy teniendo problemas con entender la siguiente definición mientras estudiaba algunas cosas básicas relacionadas con las normas de la matriz:

Para cada matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$

$$\sup_{x\neq 0}{} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1}{\|Ax\|},\; x \in\mathbb{R}^n$$

¿Por qué estamos tomando $\|x\| = 1$? ¿Hay alguna prueba de sobre declaración?

Añadido: ¿Por qué tomar sup en la definición de norma?

Necesito ayuda para comprender sobre el mencionado hecho.

Muchas gracias.

Answer 1

$$\frac{ \|Ax\| }{\|x\|} = \left|\left| A \frac{x}{\|x\|} \right|\right| Atraviesa todas las $x \neq 0$ es equivalente a ejecutar a través de todos los $y:= \frac{x}{\|x\|}$ $\| y \|=1$.

Answer 2

Como julien señalado, lo que sigue no es una prueba de que

$$\sup_{x\neq0}\frac{||Ax||}{||x||}=\sup_{||y||=1}||Ay||,\quad\quad(1)$$

es una discusión acerca de las consecuencias de $(1)$. Para una prueba de $(1)$ ver MichaelNgelo la respuesta.

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$(1)$ implica que si sabemos que un vector dado logra cualquiera de los dos supremums en $(1)$, entonces se puede deducir a partir de un vector que se obtiene el otro supremum.

Específicamente, $x^*$ es tal que

$$\frac{||Ax^*||}{||x^*||}=\sup_{x\neq0}\frac{||Ax||}{||x||}\quad\quad(*)$$

si y sólo si $y^*:=\frac{x^*}{||x^*||}$ es tal que

$$||Ay^*||=\sup_{||y||=1}||Ay||.\quad\quad(**)$$

La anterior es útil porque permite calcular uno de los supremums mediante el cálculo de la otra vez, en particular, se puede sustituir una supremum $\mathbb{R}\backslash \{0\}$ con uno sobre la unidad de la esfera.

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Una manera fácil argumentar que el de arriba es de la contradicción. Por ejemplo, una dirección de la siguiente manera:

Supongamos que $x^*$ satisface $(*)$, pero $y^*:=\frac{x^*}{||x^*||}$ no satisface $(**)$. Entonces, existe alguna $\hat{y}\neq y^*$ tal que $||\hat{y}||=1$ y

$$||A\hat{y}||>||Ay^*||\Rightarrow \frac{||A\hat{y}||}{1}=\frac{||A\hat{y}||}{||\hat{y}||}>||Ay^*||=\left|\left|A\frac{x^*}{||x^*||}\right|\right|=\frac{||Ax^*||}{||x^*||}=\sup_{x\neq0}\frac{||Ax||}{||x||}$$

lo que da una contradicción.

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EDIT: La $\sup$ se ha tomado con el fin de hacer la función de $\sigma$, que se asigna desde el espacio vectorial real de $n\times n$ matrices, $M_n(\mathbb{R})$,$[0,\infty)$, y se define como

$$\sigma(A):=\sup_{x\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||},$$

ser una norma (es decir, satisfacer la norma axiomas) en $M_n(\mathbb{R})$. Si dejamos caer el sup y en lugar de usar un fijo $x$, $\sigma$ no satisface el primer axioma ($\sigma(A)=0\Leftrightarrow A=0)$ más.