¿Cuál es el campo de la fracción de $R[[x]]$ ¿la serie de potencias sobre algún dominio integral?

Question

Tengo una pregunta similar a 74335 .

Dejemos que $R$ sea un dominio integral. ¿Existe una buena descripción del campo de fracciones de la serie de potencias $R[[x]]$ ?

Sé que este campo puede ser un subcampo propio de $\operatorname{Frac}(R)((x))$ la serie de Laurent sobre el campo de fracciones de $R$ , como se ve aquí . Teniendo en cuenta esto, no sé qué otros candidatos hay para lo que $\operatorname{Frac}(R[[x]])$ puede ser.

Answer 1

El campo de la fracción requerida $K$ de nuestro anillo $R[[x]]$ se compone de fracciones $\phi(x)=\frac {f(x)}{g(x)}$ con $f(x), 0\neq g(x)\in R[[x]]$ .
Si $F=Frac(R)$ obviamente tenemos $K\subset F((x))$ pero el siguiente análisis mostrará que no tenemos igualdad en general.

Escribe $g(x)=x^k(r-x\gamma(x))=x^kr(1-\frac {x}{r}\gamma(x))$ con $k\geq 0$ y $0\neq r\in R$ .
Entonces $\frac {1}{g(x)}=x^{-k}\sum \frac {x^n}{r^n}(\gamma (x))^n$ y vemos que $\phi(x)=\sum_{i=m }^{\infty } c_ix^i$ donde $m\in \mathbb Z$ depende de $\phi$ y cada $c_i$ es de la forma $c_i=\frac {\rho_i}{r^{\nu^i}}$ con $\rho_i\in R$ y $\nu_i\in \mathbb N$ .
En otras palabras, en el campo investigado $K$ cada elemento es una serie de potencias $\phi(x)=\sum_{i=m }^{\infty } c_ix^i$ pero estos satisfacen el fuerte requisito de que exista un elemento $r\in R$ (dependiendo de $\phi$ ) tal que todos los $c_i\in R[\frac {1}{r}]$ .

Por ejemplo, está claro que para $R=\mathbb Z $ la serie $e^x=\sum \frac {x^i}{i!}\notin K$ ya que es imposible encontrar $r\in \mathbb Z$ de manera que todos los $\frac {1}{i!}\in \mathbb Z[\frac {1}{r}]$

Answer 2

Sólo quiero compartir el siguiente resultado de Philip Sheldon (Trans. AMS Vol. 159, 1971):

Dejemos que $R\subset S$ sean dos subrubros de los números racionales. Entonces el grado de trascendencia de la extensión del campo

$\mathrm{Frac} (R[[x]])\subset\mathrm{Frac}(S[[x]])$

es infinito.

Answer 3

Supongamos que $R$ es un UFD. Deje $F(X) = X^{-n} \sum_{k=0}^{+\infty} r_k X^k \in K((X))$,$r_0 \neq 0$. Escribir $$ r_k = \frac{p_k}{q_0.q_1.q_2 \cdots q_k}, \quad (k \geq 0),$$ con $q_k$ primer $p_k$ (que son únicos a las unidades).

Supongamos que $F \in Frac(R[[X]])$. A continuación puede encontrar $A(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_n X^k$ $B(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} b_n X^k$ $R[[X]]$ tal forma que: $$ \sum_{k=0}^{+\infty} r_k X^k = (\sum_{k=0}^{+\infty} a_n X^k)(\sum_{k=0}^{+\infty} b_n X^k)^{-1}.$$ Usted puede suponer que $b_0 \neq 0$. Esto implica que para todos los $k$: $$a_n = \sum_{p+q=k} r_p b_q.$$ Multiplique esta igualdad por $q_0.q_1.q_2. \cdots q_k$, entonces se deduce que $q_k$ divide $b_0$ (para todos los $k$).

Por lo que una condición necesaria para $F(X)$ $Frac(R[[X]])$ es la siguiente: $$(*) \ \ \bigcap_{k \geq 0} q_kR \neq \{0\}, $$ es decir,$\gcd(q_0,q_1,\dots) < \infty$. Esto explica por qué la $exp(X)$ no $Frac(R[[X]])$ como demostró en su enlace. Espero que $(*)$ también es suficiente, pero no estoy seguro.

Answer 4

Aquí está mi intento:

$Frac(D)[[x]]=\{\alpha\in Frac(D)((x)) \mid \exists d\in D[[x]]^*, d\alpha\in D[[x]]\}$

Esto sólo va sobre la identificación de las cosas que "denominadores pueden ser liberados". El hecho de que no todo en $Frac(D)((x))$ no puede ser cambiado de puesto así es porque no es denso en $D[[x]]$ $Frac(D)((x))$.

Por ejemplo, usted tiene $\frac{1}{2}x^{-5}+\frac{1}{3}x^{-4}+\frac{1}{2}x^{-3}+\frac{1}{3}x^{-2}+\dots$ que puede ser cambiado de puesto en $\mathbb{Z}[[x]]$ $6x^5$, pero creo que será imposible poner $\Sigma_{i=1}^\infty \frac{1}{2}^i x^i$ $\mathbb{Z}[[x]]$.