Posibles

Question

Recientemente he encontrado (en algún lugar en las matemáticas.se) una prueba interesante para $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} = 2$ y pensé "oh, eso es sorprendente, como también a $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 2$ e se 'siente' el primero de la serie debe ser mayor que la posterior." Sin embargo, la sorpresa no duró mucho tiempo, ya que me di cuenta de que el primer sumando de la primera serie es cero. Así que, básicamente, uno ha $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = 2 > 1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$, que es menos sorprendente.

Así que me pregunté a mí mismo si existe una serie de $\sum_{n=1}^\infty a_n$ con

• $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty n a_n$
• $a_n \gt 0$ $n \in \mathbb{N}$ (es decir. no $0 = 0$ trucos)
• ambas series convergen (es decir. no $\infty = \infty$ trucos)

He intentado $a_n = \frac{1}{n!}$, pero, a continuación, $\sum_{n=1}^\infty a_n = e-1 \lt e = \sum_{n=1}^\infty n a_n$ (curiosamente, la diferencia es $1$ nuevo!) y entonces no pude encontrar un ejemplo (o una prueba de que esto es imposible).

Hace una serie de existir?

Answer 1

Supongamos que existe tal serie. Entonces %#% el $ de #% por lo que todos los términos de la secuencia $$0 \le \sum_{n \ge 1} (n-1)a_n = \sum_{n \ge 1} na_n - \sum_{n \ge 1} a_n =0$. Una contradicción.

El problema es que no pueden hacer confusión con $0$ y $\sum_{n \ge 1} na_n$ porque el segundo tiene el primer término igual a $\sum_{n \ge 0} na_n$, mientras que el segundo no.

En general, bajo la hipótesis de que $0$ y ambas sumas son convergentes, $0<a_n$ $ puede ser reescrita como %#% $ #% que equivale al $$\sum_{n \ge 0} na_n = \sum_{n \ge 0} a_n$ $, que es el caso cuando usted tiene $$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \dots = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots$.

Answer 2

Asumida que $f(x)= \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ y $f'(x)-f(x)-f(0)=0$ es verdad $x\in[0,R]$ que $R$ es un radio de convergencia de $f(x)$. claramente es que el $R\geq1$ porque $f(1)= \sum_{n \geq 0} a_n$. solución de esta ODA es nuestra serie.

$f(x)= \sum_{n \geq 0} a_n x^n, \quad f(1)= \sum_{n \geq 0} a_n , \quad f(0)=a_0,$

$f'(x)= \sum_{n \geq 1} na_n x^{n-1}, \quad f'(1)= \sum_{n \geq 1} na_n ,$

$\sum_{n \geq 1} na_n-\sum_{n \geq 0} a_n-a_0=f'(1)-f(1)-f(0)=0,$

Supongamos que $x\in[0,R]$:

$ \sum_{n \geq 1} na_n x^{n-1}-\sum_{n \geq 0} a_n x^n-f(0)=f'(x)-f(x)-f(0)=0$