Ejemplo de un conjunto de Borel que no es $F_\sigma$ ni $G_\delta$

Question

Estoy buscando un subconjunto $A$ de $\mathbb R$ tal que $A$ es un conjunto de Borel pero $A$ no es ni $F_\sigma$ ni $G_\delta$ .

Answer 1

Hay muchos ejemplos. Aquí hay uno:

Observe primero que los números racionales $\mathbb{Q}$ son un $F_{\sigma}$ . Esto se debe a que son una unión contable de puntos. Los números irracionales $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} = \bigcap_{q \in \mathbb{Q}} \mathbb{R} \smallsetminus \{q\}$ son, por tanto, un $G_{\delta}$ . Dado que ambos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q}$ son densas y disjuntas se deduce de la Teorema de la categoría Baire que $\mathbb{Q}$ no puede ser un $G_{\delta}$ . [ Editar: Ver también este hilo aquí que contiene varias pruebas de que $\mathbb{Q}$ no puede ser un $G_{\delta}$ en $\mathbb{R}$ . Estas pruebas evitan explícitamente a Baire].

El mismo razonamiento muestra que $F = \mathbb{Q}_{\geq 0}$ es un $F_{\sigma}$ en $[0,\infty)$ pero no es un $G_{\delta}$ y que $G= \mathbb{R}_{\leq 0} \smallsetminus \mathbb{Q}_{\leq 0}$ es un $G_{\delta}$ en $(-\infty,0]$ pero no es un $F_{\sigma}$ . Su unión $F \cup G$ es entonces un ejemplo de subconjunto de Borel de $\mathbb{R}$ que no es un $F_{\sigma}$ ni un $G_{\delta}$ porque si fuera un $F_{\sigma}$ entonces lo mismo ocurriría con $G = (F \cup G) \cap (-\infty,0)$ por ejemplo. Dejo como ejercicio el demostrar que $F \cup G$ es a la vez un $F_{\sigma\delta}$ y un $G_{\delta\sigma}$ .

Ese es probablemente el ejemplo más fácil. Se pueden encontrar algunos más (más interesantes pero también más complicados) en este hilo de MO .

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Para un análisis mucho más profundo de estas ideas, recomiendo consultar uno de los siguientes libros:

• A.S. Kechris, _Teoría descriptiva clásica de conjuntos_ , Springer GTM 156.

• S.M. Srivastava, Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer GTM 180.

• J.C. Oxtoby, Medida y categoría , Springer GTM 2.

En concreto, busque las secciones de Jerarquía de Borel .