El lema de Yoneda es consecuencia simple de la teoría de la categoría, y su prueba es muy sencilla.
Sin embargo siento que realmente no entiendo de qué trata; He visto algunos comentarios aquí mencionar que tiene implicaciones más profundas sobre cómo pensar acerca de functors representables.
¿Cuáles son algunos ejemplos de esto? ¿Cómo se debe pensar en el lema de Yoneda?
Si usted tiene experiencia básica con álgebra abstracta, de las ideas en el Yoneda lema debe ser muy familiar y aunque intuitiva, la aparente dificultad es sólo en el reconocimiento de ellos en esta nueva presentación.
Usted puede pensar en la "categoría" como el sentido de la misma cosa como la "teoría algebraica en un multisorted idioma con sólo las funciones unarias" (los objetos de la categoría de ser la clase de la lengua, los morfismos de ser el definibles funciones, y la igualdad entre (composites) de morfismos de ser las leyes de la teoría). Desde esta perspectiva, un functor de C a un Conjunto es simplemente un modelo de la teoría correspondiente a C, y natural de las transformaciones de tal functors son homomorphisms de modelos. El Yoneda lema es, entonces, acerca de los modelos: en concreto, se dice que cada clase s, el "término modelo" de términos con una sola variable, de tipo s (equivalentemente, definible funciones con dominio s) es el modelo libre en un único generador de tipo s. [Puede ser desconocido cuando se expresa como "Nat(Hom(p, -), M) ~= M(s), naturalmente en M", pero que es, de hecho, todo esto categórica expresión está diciendo]
El llamado co-Yoneda lema mencionado en los otros comentarios también tiene una buena interpretación de esta perspectiva, que asciende a la demostración de que cada modelo puede ser especificado por generadores y relaciones.
(Yo no diría que esto es La Manera Correcta de pensar acerca de la Yoneda lema, porque es útil para ver desde muchas perspectivas diferentes, pero esta es sin duda Una Forma Correcta de pensar acerca de la Yoneda lema.)
En su clase de geometría algebraica hace unos años, Ravi Vakil explicó lema de Yoneda así: trabajas en un acelerador de partículas. Quieres entender algunas partículas. Todo lo que puede hacer son tiro otras partículas en él y ver qué pasa. Si usted entiende cómo su partícula misterio responde a todas las partículas posibles de la prueba en todo posible prueba de energías, entonces usted sabe todo lo que hay saber sobre la partícula de misterio.
Pereza, sólo a punto algunas notas sobre esta pregunta: ¿cuál es el lema de Yoneda trata?
Barr y Pozos (Toposes, Triples y Teorías, 84) habla acerca de las flechas como una clase general de los elementos. En Conjunto, las flechas de {*}→A son los elementos habituales de Una, y las flechas de grandes conjuntos X→A son los X-elementos de Una, o de los elementos de Un parametrizarse en X. claro que esto último tiene sentido en cualquier categoría, por lo que podemos utilizar este lenguaje el estado de la Yoneda lema como:
El Hom(-,A)-elementos de F son sólo los elementos habituales de la FA.
Me parece, al menos, un útil recurso mnemotécnico, pero también justifica la intuición de que un objeto "es" su colección de sondas.
Una buena y frecuente uso de la Yoneda lema es la internalización: Si por ejemplo, tengo monoid con valores representables functor contravariante de Hom(-,A):C-->Establecer, a continuación, la representación de Un objeto debe ser un monoid objeto en C. Esto es debido a que la estructura de morfismos Hom(-,A)xHom(-,A)=Hom(-,AxA)-->Hom(-,A) es una transformación natural y por lo tanto, por Yoneda viene de una de morfismos AxA-->A en el interior de C, mismo para la otra estructura de morfismos y los desplazamientos de los diagramas.
La misma pasa a través de otros algebraicas (o limitar) las estructuras y también para covariante Hom-functors, que si son de álgebra valores están representados por un coalgebra-objeto. Un excelente ejemplo de esto último es el hecho de que algebraico afín grupos están representados por álgebras de Hopf.
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