¿Cómo se puede considerar el proceso de Ornstein – Uhlenbeck como el análogo del continuo-tiempo del proceso AR(1) de tiempo discreto?

Question

Wikipedia dice:

El Ornstein–Uhlenbeck también puede ser considerado como el tiempo continuo analógica del tiempo discreto AR(1) el proceso.

Me preguntaba cómo la Ornstein–Uhlenbeck puede ser considerado como el tiempo continuo analógica del tiempo discreto AR(1) el proceso?

Una de Ornstein–Uhlenbeck, $x_t$, satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica: $$dx_t = \theta (\mu-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t$$ donde $\theta > 0, \mu$ $\sigma > 0$ son parámetros y $W_t$ denota el proceso de Wiener.

El $AR(p)$ modelo, es decir, un modelo autorregresivo de orden $p$, se define como $$X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,$$ donde $\varphi_1, \ldots, \varphi_p$ son los parámetros del modelo, $c$ es una constante, y $\varepsilon_t$ es ruido blanco.

Gracias y saludos!

Answer 1

En caso el $p=1$ tienes $$icadas {k+1} = c + un x_k + b\varepsilon_k$$ para eso si pones $c = \theta\mu\Delta t$, $a = -\theta\Delta t$ y $b = \sigma\sqrt{\Delta t}$ obtienes $$icadas {k+1} = t \theta(\mu-x_k)\Delta + \sigma \varepsilon_k\sqrt{\Delta t}$$ que exactamente una discretización de Euler-Maryuama de OU en épocas $(k\Delta t)_{k\in \Bbb N_0}$.

Answer 2

Debe ser un comentario sobre Ilya la respuesta, pero no tengo suficiente reputación --

Aunque la otra respuesta no muestran cómo el AR proceso es equivalente a la unidad organizativa del proceso, tenga en cuenta que el de Euler-Maruyama de discretización es sólo una aproximación. Con el fin de derivar la relación exacta entre los dos modelos, tendría que integrar la OU proceso de tiempo de t a t+1, y a continuación se derivan de las diferentes relaciones entre los parámetros. Por suerte existe una solución de forma cerrada para la unidad organizativa de la SDE, así que esto no es demasiado difícil.

EDIT: también puede usar la Milstein Discretización, que es una forma más exacta aproximación, ya que incluye la convexidad plazo de Ito lema. Pero todavía es más fácil que la solución exacta.