$f$continuo iff $f(K)$ es compacto para todo compacto $K$.

Question

En topología, he visto que $f$ es continuo si y solamente si $f^{-1}(U)$ está abierta cuando $U$ está abierto. ¿Pero tiene que continuo iff #% el $f$% #% es compacto cuando $f(K)$ es compacto? Sé que si $K$ es continua, entonces $f$ es compacto cuando $f(K)$ es compacto. ¿Pero es el converse? Hablo especialmente para una función $K$, pero una respuesta general sería buena también.

Answer 1

No, lo contrario no es cierto. Considerar el % de la función #% definida en $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ si $f(x)=1$ #% y $x \in \mathbb{Q}$ lo contrario. Entonces $f(x)=0$ es continua en ninguna parte, pero la imagen de cada subconjunto compacto $f$ $K$ es compacta como conjuntos finitos son compactos.

Answer 2

La respuesta no es en general. Sin embargo, en algunos casos 'nice' la respuesta es positiva. Ver esta pregunta en MO.

Answer 3

Hay un MathOverflow pregunta que ha estado cerrado como off-topic (porque es considerado como un signo de pertenencia a las matemáticas.SE), pero que tiene la siguiente respuesta por Lajos Soukup:

Son altamente no trivial resultados positivos.

Que nos llame a una función de $f$ a partir de un espacio de $X$ a un espacio en el $Y$ la preservación de si la imagen de cada subespacio compacto de $X$ es compacto en $Y$ y la imagen de cada conectado subespacio de $X$ es conectado en $Y$.

McMillan [En la continuidad de las condiciones de funciones, Pacífico J. Math. 32 (1970) 479-494] demostrado el siguiente resultado:

Teorema: Si $X$ es Hausdorff localmente conectado y Frechét, $Y$ es Hausdorff (por ejemplo, si $X=Y=\mathbb R$), toda la preservación de la función $f:X\to Y$ es continua.

Para más resultados ver Gerlits, Juhasz, Soukup, Szentmiklossy: La caracterización de la continuidad por la preservación de la compacidad y conexión, La parte de arriba. Appl, 138 (2004), 21-44

Nuestro principal resultado es el siguiente:

Teorema: Si $X$ es cualquier producto de conectados linealmente ordenado de los espacios (por ejemplo, si $X = \mathbb R^\kappa$ ) y $f:X \to Y$ es un la preservación de la función en un espacio normal $Y$, $f$ es continua.

Answer 4

No.

Considerar %#% dado en $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si $f(x)=0$ #% y $x<0$ si $f(x)=1$.

Entonces, tenemos cada $x\ge 0$, que $X \subseteq \mathbb R$ es un finito sistema y tan compacto. Pero $f(X)$ no es continua.