¿Puede una función "bien educados" oscilan entre dos órdenes diferentes de crecimiento?

Question

Deje $f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$ ser una monótona no negativo no decreciente $C^1$ divergentes de la función, con $f'$ ser monótona no negativa y limitada. Estoy tratando de demostrar que no es posible existir estrictamente creciente divergentes real de secuencias de $(a_n)_n$ $(b_n)_n$ tal que

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{f(a_n)}{a_n^{1/3}} = \lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)}{b_n^{2/3}} = 1. $$

La única cosa que he pensado en hacer una estrictamente creciente divergentes secuencia $(c_n)_n$ $c_k \in (a_n)_n$ al $k$ a y $c_k \in (b_n)_n$ al $k$ impar, y utilizar el valor medio Teorema para intentar controlar el crecimiento de $f'$, pero no fue muy efectiva. Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Lema: Dado $a<b$ $A<B$ existe un $C^\infty$ función de $f$ de manera tal que todos los derivados de $f$ desaparecen en $a,b,f$ es estrictamente creciente en a $[a,b]$ $f(a)=A, f(b)=B.$

Usando el lema, podemos ping pong de ida y vuelta entre las curvas de $x^{1/3}, x^{2/3}.$ primero Hemos de pasar de $x^{1/3}$ $x^{2/3}.$Ahora tenemos $f$ constante hasta que nos topamos con la curva de $x^{1/3}$ nuevo. Entonces podemos retroceder a $x^{2/3}$ etc. Nuestra función será estrictamente creciente en los intervalos impares obtenidos de esta manera, y constante en los intervalos. La fuga de todos los derivados en cada una de las $a_n,b_n$ asegura que el completado función será la $C^\infty.$

Agregado: me ha recordado por dos comentaristas que $f'$ era de por sí supone a ser monótono. Voy a dejar este post de todos modos.

---

Segunda respuesta: creo que hay un $f.$

Si tomamos un punto de $(x_0,y_0)$$y=x^{2/3},$, a continuación, la línea horizontal $y=y_0$ se cruzan $y=x^{1/3}$ en algún punto a la derecha. De ello se desprende que para suficientemente pequeño $m>0,$ la línea de $y=y_0+m(x-x_0)$ también se cruzan $y=x^{1/3}.$ Además, la continuación de cualquier línea de nuevo se cruzan $y=x^{2/3}.$ tomando $m$ lo suficientemente pequeño, se puede asegurar que este segundo punto en $y=x^{2/3}$ es lo más a la derecha como queremos. Habiendo obtenido este segundo punto, podemos repetir la anterior. Pero esta vez tenemos que asegurarnos de que la pendiente de la recta no es más grande que la primera pendiente elegido. Ya tenemos la latitud de todos los suficientemente pequeños desniveles, esto no es ningún problema.

De esta manera podemos elegir una secuencia de puntos de $b_n \to \infty$ de manera tal que los acordes de $(b_n,b_n^{2/3})$ $(b_{n+1},b_{n+1}^{2/3})$tienen la disminución de las pendientes, y de tal manera que cada uno de estos acordes se cruza con $y=x^{1/3}.$ El acorde intersecciones generar la secuencia de $a_n.$

Así que ahora con estos acordes inscrito en el gráfico de $y=x^{2/3},$ elegimos un $C^\infty$ función de $f$ cuya gráfica coincide con la por encima de los acordes de la mayoría de las veces, pero cerca de los vértices, la suavidad de las transiciones de un acorde a otro, todo el tiempo de preservar la estrictamente decreciente monotonity de las pistas, es decir, $f''\le 0$ en todas partes.

Answer 2

Caso 1: $f'$ no decreciente, lo que significa $f$ es convexa.

Ya, $f,f',f''$ son todos no negativos, tenemos $(f^3)'=(3f^2\cdot f')$ que es no decreciente. Eso significa que $f^3$ también es convexo.

Por lo $x\to\displaystyle\frac{f^3(x)-f^3(0)}{x}$ es no decreciente. Así que como $x\to\infty$, debe ir a $\infty$ o a un límite finito $l$. Ya sabemos que $\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{f^3(a_n)}{a_n}=1$, $x\to\displaystyle\frac{f^3(x)}{x}$ $1$ $x\to\infty$

Esto nos da que $\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{f^3(b_n)}{b_n^2}=0=1$

Así es imposible.

---

Caso 2: $f'$ es no creciente.

Te voy a mostrar un contraejemplo si $f$ no $\mathcal C^1$ en todas partes. No es necesario, pero hace la prueba más simple y es posible (aunque molestos) para venir para arriba con un $\mathcal C^\infty$ contraejemplo.

Ahora vamos a construir un contraejemplo a la propuesta original, mediante la definición de la función $f$ y las secuencias de $a_n$ $b_n$ (y el otro, por $k_n$) y el mantenimiento de $f(a_n)=a_n^{1/3}$ $f(b_n)=b_n^{2/3}$

Escogeremos $a_n=(b_n^{2/3}+1)^3$

Si $0\leq x\leq 1,\ f(x)=x$

$f$ cruces $x^{2/3}$ $b_1=1$

Supongamos que hemos definido $f$$[0,b_n]$. Ahora vamos a definir por $[0,b_{n+1}]$

Definiremos $f$ $[b_n,a_n]$ como el acorde entre el $(b_n,b_n^{2/3})$ $(a_n,a_n^{1/3})$

La pendiente de $f$ es positivo ($f$ debe crecer para llegar a $a_n^{1/3}$) y en menos de lo que era a $x<b_n$ ($f$"pierce" $x^{2/3}$ y siempre será estrictamente mayor que ella y el $x^{1/3}$)

Definiremos $b_{n+1}$ como la coordenada x del punto donde la extensión de la anterior acorde (a la derecha de $a_n$) intersecta $x^{2/3}$. Un punto debe existir debido a $ax+b$ finalmente es mayor que $x^{2/3}$.

Definimos $f$ como esta por inducción. Observe que $f(b_n)=b_n^{2/3}$ $f(a_n)=a_n^{1/3}$

Esta es la forma en que la función será la siguiente:

Un poco de zoom: