Unicidad de la descomposición del producto directo de grupos finitos

Question

Un grupo $G$ es indecomponible si: $G = H \times K \Rightarrow \{ H,K \} = \{1, G \}$ .
Entonces, un finito grupo $G$ se descompone en un producto directo de grupos indecomponibles: $G = \prod_i G_i$ .

Pregunta : ¿Es esta descomposición única (hasta la permutación y el isomorfismo)?

Answer 1

Sí, la descomposición es única para grupos finitos. Esto es una consecuencia de la Teorema Remak-Krull-Schmidt que se aplica a los grupos que satisfacen las condiciones de mínimo y máximo en los subgrupos normales. Dado que los grupos finitos tienen ciertamente estas propiedades, R-K-S se aplica aquí.

Answer 2

Esta descomposición no es única en la clase de todos los grupos, aunque, como señala la otra respuesta, es verdadera para los grupos finitos.

Una razón por la que el resultado falla en general es que los grupos no son cancelables en general. Un grupo $H$ es cancelable si se cumple lo siguiente. $$H\times Q\cong H\times P\Rightarrow P\cong Q$$ Los grupos finitos son cancelables, pero en general los grupos no lo son (véase esta pregunta - $\mathbb{Z}$ es un contraejemplo). Si su resultado se mantiene, entonces las descomposiciones de $P$ y $Q$ tendría que ser el mismo, y por lo tanto $P$ y $Q$ tendrían que ser isomorfos, por lo que todos los grupos serían cancelables.

Como grupos finitos son cancelable, esta prueba sólo funciona para grupos generales y no para grupos finitos.