¿Qué pensaba Gauss sobre el infinito?

Question

Tengo a alguien que me está suplicando una conversación conmigo sobre el infinito. Él piensa que Cantor se equivocó, y me sugirió que Gauss realmente no creía en el infinito, y no habría tolerado ninguna jerarquía de infinitos.

Puedo ver que un enfoque constructivista podría insistir en evitar el infinito, y tratar solo con números que podemos nombrar usando cadenas finitas, y también pruebas. Pero ¿alguien tiene algún conocimiento sobre lo que Gauss dijo o pensó sobre el infinito, y en particular si podría haber alguna justificación para la acusación de mi interlocutor?

Answer 1

Aquí hay una entrada de blog de R J Lipton que arroja algo de luz sobre esta pregunta. Citando una carta de Gauss:

... así que protesto en primer lugar contra el uso de una magnitud infinita como una cantidad completa, lo cual nunca se permite en matemáticas. El Infinito es solo una façon de parler, en la que en realidad se está hablando en términos de límites, a los cuales ciertas proporciones pueden acercarse tanto como se desee, mientras que a otras se les permite incrementarse sin restricción.

El blog ofrece esta traducción:

... en primer lugar debo protestar contra el uso de una magnitud infinita como cantidad completa, lo cual nunca se permite en matemáticas. El Infinito es solo una manera de hablar, en la que en realidad se está hablando en términos de límites, a los cuales ciertas proporciones pueden acercarse tanto como se desee, mientras que a otras se les permite crecer sin restricción.

Answer 2

Su interlocutor parece oponerse al infinito (y atribuir opiniones similares a Gauss) por razones finitistas o constructivistas. Si este es el caso, probablemente también se opondría a los infinitesimales. Esto se debe a que especificar un infinitesimal típicamente implica una cantidad infinita de datos, al menos en las teorías modernas.

Aquí estaría equivocado al asumir creencias similares por parte de Gauss porque Gauss específicamente y rutinariamente usaba infinitesimales en su desarrollo de la geometría diferencial. Una discusión detallada de esto se puede encontrar en el libro de Michael Spivak sobre Geometría Diferencial, Tercera edición, volumen 2, capítulo 4. La discusión comienza en la página 62 de la siguiente manera: "Gauss ahora introduce sin preocupaciones cantidades infinitamente pequeñas...".

Su interlocutor también mencionó jerarquías de infinitos. En la página 75 de la traducción de Spivak de Gauss, se encuentran productos de infinitesimales, y una expresión para la curvatura en términos de estos. Estos son infinitesimales de segundo orden. Por lo tanto, Gauss trabajó con una jerarquía de infinitesimales.

Answer 3

Tienes razón. Gauss no creía en la infinitud acabada. Habría condenado las ideas de Cantor.

(En cuanto a su demostración), "protesto en primer lugar contra el uso de una magnitud infinita como algo completo, lo cual nunca es permisible en matemáticas. El infinito es simplemente una forma de hablar, entendiendo en realidad un límite al cual ciertas razones se acercan indefinidamente, mientras que a otras se les permite crecer sin restricción." [C. F. Gauß, Briefwechsel mit Schumacher, Bd. II, p. 268 (1831)]

Traducción de comentarios

"Protesto contra el uso de magnitud infinita como algo completado, lo cual nunca es permisible en matemáticas. La infinitud es meramente una forma de hablar, siendo el verdadero significado un límite al que ciertas proporciones se acercan indefinidamente, mientras que a otras se les permite aumentar sin restricciones"