¿Qué es parafermion en la física condensada de la materia?

Question

Recientemente, parafermion se caliente en física de la materia condensada (1:Naturaleza de las Comunicaciones, 4, 1348 (2013),[2]:Phys. Apo. X, 2, 041002 (2012), [3]:Phys. Apo. B, 86, 195126 (2012),[4]:Phys. Apo. B,87, 035132, (2013)).

Pero tengo poco conocimiento acerca de parafermion (fractionalizing Majorana fermión). Así que tengo un par de preguntas:

1. Por favor, dar una pedagógico introducción a la parafermion. El más, el mejor.
2. El común y característica diferente en comparación a la Majorana fermión.
3. La relación de Ising anyon, Fibonacci anyon, y así sucesivamente.
4. La diferenciación de no Abelian estadísticas con parastatistics, la fracción de estadísticas, y así sucesivamente.

Answer 1

Esta es una pregunta general, creo que podría proporcionar alguna información, pero que sin duda tendrá que ser elaborados por alguien con esta experiencia específica.

1. El $\mathbb{Z}_k$ para fermiones surgir en varios mecánica estadística de los modelos. Ambos son interesantes y sutiles debido a su intercambio de estadísticas dependen de sus posiciones (en una dimensión). Es más intuitiva para entender como excitaciones derivadas de una $\mathbb{Z}_k$ quantum modelo de reloj. En el $\mathbb{Z}_k$ modelo de reloj contamos con operadores locales en cada sitio, $\sigma$ $\tau$ que obedecen a $\sigma^k =\tau ^k = 1$$\sigma \tau = \omega \tau \sigma$$\omega = e^{2 \pi i /k}$. A partir de estos operadores podemos definir un Hamiltoniano, $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n (-J\sigma_n^{\dagger} \sigma_{n+1}+h.c.) -h(\tau_n +\tau_n^\dagger) \end{equation}$$ Este, a continuación, toma la forma familiar de un 1D ámbito transversal del modelo de Ising (k=2). El ámbito transversal del modelo de Ising permite un Jordania-wigner transformación que la lleva gratis fermiones. La generalización de esta transformación tiene el modelo de reloj a uno de los (no libre) parafermions (voy a elaborar sobre esto). La transformación es: $$\begin{eqnarray} \alpha_j &=& \sigma_j \prod_{i<j} \tau_i \\ \beta_j &=& \sigma_j \tau_j \prod_{i<j} \tau_i. \end{eqnarray}$$ Con estas transformaciones en lugar podemos comprobar que el Hamiltoniano en términos de la parafermion operadores toma la forma: $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n -J\omega\alpha_{n+1}^\dagger \beta_n - h\omega \beta_n^{\dagger} \alpha_n +h.c. \end{equation}$$ Con el parafermions la satisfacción de las relaciones de conmutación $\alpha_j \alpha_{j^{\prime}} = \omega^{sgn(j^\prime - j)} \alpha_{j^{\prime}} \alpha_j$ y lo mismo para los demás. Por lo tanto el sitio dependiente de relaciones de conmutación. La introducción a la http://arxiv.org/abs/1209.0472 proporciona más detalles en un muy legible de forma.

2. ¿Cómo estas parafermions comparar a majorana modos en física de la materia condensada? Bien está claro que son un directo de la generalización de la Majorana operadores encuentra desde el Jordán-Wigner transformación (o k=2 caso aquí). Pero que son totalmente diferentes de las bestias cuando llega a cero modos. Esto se ve más fácilmente tratando de resolver para las teorías del espectro. Para $k=2$ hemos Majorana, podemos calcular el espectro de la solución para que la escalera de los operadores que satisfacen $[H,\gamma_k] = E_k \gamma_k$. Este es un relativamente sencillo ejercicio y los resultados en el plano de la onda de soluciones con un espectro que se parece a $E_k = \pm2\sqrt{h^2(\cos{k}-1)^2 + J^2\sin^2{k}}$ (este debe ser de verificación). Si uno intenta la misma metodología con la parafermions queda claro que los desplazamientos algo lineal en parafermions rendimientos bilinears en parafermions. Esto indica a nosotros que nuestra teoría no es más libre. Esto es lo que yo creo que para ser la más grande diferencia.

3. ¿Cómo se relacionan Ising anyons y de Fibonacci anyons? Ising anyons están íntimamente relacionados con majorana cero modos de satisfacer la misma no abelian estadísticas hasta un total $U(1)$ fase. Sé de una conexión que alguien podría tal vez ellaborate. Es conocido que estos modelos son todos auto-dual y tiene un punto crítico en $h = J$ e aquí se considerar $h$ $J$ real. Estos puntos críticos son descritos por parafermion de conformación del campo de las teorías (CFT) en el límite termodinámico. El CFT consejo de la k=3 teoría tiene un campo cuyo operador producto satisface los de fibonacci de la fusión de las reglas.

4. En dos dimensiones cosas divertidas que puede suceder cuando el intercambio de partículas. En lugar de la $\pm$ signo distintivo bosonic como partículas de fermionic como partículas en 3 o más dimensiones en dos dimensiones de las partículas puede recoger una fase arbitraria $e^{i \theta}$. Este sería característico de un Abelian anyon. No Abelian anyon también puede recoger dicha fase, pero, aún más extraño, y no de una fase general - es todo (degenerado) el estado del suelo puede sufrir una transformación unitaria. Una excelente revisión sobre el tema se da aquí: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083.