Es bastante increíble, pero este tipo de mapas no existen!
Llame a un mapa entre dos espacios métricos (es decir, de Riemann colectores) $f: M\to N$ un camino-isometría si conserva las longitudes de todos los caminos. Recordar que si $p: [a,b]\to M$ es un camino (es decir, de Lipschitz continua), entonces su longitud se define como la
$$
\int_a^b |p'(t)|dt.
$$
Ejemplo. $f: R\to R$, $f(x)=|x|$.
Este mapa no es homeomorphism incluso a nivel local, pero conserva las longitudes de los caminos (ya que la derivada de $f$ tiene valor absoluto $1$.e.). Por supuesto, $f$ no $C^1$ sino simplemente de Lipschitz, pero esa es la natural condición de regularidad ya que todo el camino-isometrías son 1-Lipschitz.
M. Gromov en su libro "Diferencial Parcial de las Relaciones" demostró la asombrosa siguiente teorema (ver 2.4.11 en el libro):
Teorema. Para cada superficie de Riemann $M$ existe un camino-isometría $f: M\to R^2$ (donde $R^2$ está equipado con el estándar de la plana métrica).
Gromov demostrado mucho más, pero el teorema anterior es suficiente para nosotros.
Por lo tanto, tomar Gromov del camino de isometría $g: S^2\to R^2$; su imagen está contenida en un disco de $D$. Ahora, el toro admite una métrica plana y $D$ admite un mapa isométrico $i$ a tales plana torus $T^2$. Por último, la composición
$$
f=i\circ g: S^2\T^2
$$
es la ruta de acceso necesarios-isometría.
Edit. Supongamos que se quiere imponer un extra de la regularidad de la asunción en sus mapas, es decir, $f\in C^1$ (continuamente diferenciable). A continuación, se puede comprobar que todos los $C^1$-camino liso-isometrías son en realidad de Riemann isometrías en el sentido de que el derivado $df: TM\to TN$ conserva las longitudes de los vectores de tangentes. En particular, $f$ es una inmersión: $df_m: T_mM\to T_{f(m)}N$ es inyectiva para todo $m\in M$.
A continuación, se observa que una inmersión $f: S^2\to T^2$ no existen. Uno puede demostrarla mediante la comprobación de que tales $f$ tendría que ser un cubriendo mapa (y la esfera no cubre el toro) o simplemente tomar un lugar de fuga campo de vectores $X$ $T^2$ y tome su pull-back $Y=f^*(X)$ bajo $f$:
$Y(m)\in T_mS^2$ es el único vector que $df(Y(m))=X(f(m))$.
A continuación, $Y$ sería un lugar de fuga campo de vectores en $S^2$, lo que contradice la Peluda Bola teorema.
