Límite de $\frac{2^n}{n!}$ como $n \rightarrow \infty$

Question

Una pregunta muy sencilla. Estoy calculando el límite de $\frac{2^n}{n!}$ como $n \rightarrow \infty$ . Tengo una solución a la que no le encuentro nada de malo, pero no la he visto reproducida en ningún otro sitio y me pregunto si me he perdido algo.

$$x_n=\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2}{n-1} \cdot \frac{2}{n} \implies \,\, 0 \le x_n \le\frac{4}{n}$$ y por el Teorema del Apretón, ya que $\frac{4}{n} \rightarrow 0 $ como $n \rightarrow \infty$ entonces $x_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ .

Hice el "límite superior $\frac{4}{n}$ porque tenemos $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}$ al principio y $\frac{2}{n}$ al final y todo lo que hay en medio es menor que 1, así que seguramente el mayor $x_n$ podría ser es $\frac{4}{n}$ . ¿Esto está bien? Gracias.

EDITAR: Ahh, espera. Creo que ahora lo veo; ¿tenemos que tomar $ 2 \cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$ como límite inferior? Digo esto porque según mi argumento anterior, ¿no podría el mayor $x_n$ podría ser, ser $\frac{4}{n-1}$ ¿ por ejemplo?

Answer 1

Otra forma más elegante de ver que la respuesta es $0$ es la serie de potencias asociada $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ converge a $e^2$ por lo que su $n$ -décima legislatura $\dfrac{2^n}{n!}$ debe converger a $0$

Answer 2

En respuesta a su EDIT:

Si todo lo que necesitas hacer es mostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{2^n}{n!} = 0$ , entonces usando el límite $0 \le \dfrac{2^n}{n!} \le \dfrac{4}{n}$ para $n \ge 1$ y luego aplicar el teorema de la compresión es suficiente.

Sin embargo, si el problema le hubiera pedido en cambio que demostrara que $\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ converge, entonces un límite superior de $\dfrac{4}{n}$ no sería suficiente. Así que en ese caso, querrá utilizar el límite $0 \le \dfrac{2^n}{n!} \le \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}$ para $n \ge 2$ y luego utilizar la prueba de comparación.

Answer 3

No te has perdido nada, tu solución está bien.

Answer 4

Utilizando el teorema de Squeeze, demostramos que $\frac{2^n}{n!}=0$ .

$0\le\frac{2^n}{n!}=\frac{2*2*2*2....}{n(n-1)...3*2*1}$

$\frac{2*2*2*2....}{n(n-1)...3*2*!}\le\frac{2^3}{3!}.\frac{2}{n}$

$\lim_{n\to\infty}(\frac{2^3}{3!}.\frac{2}{n})=0$

Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}\frac{2*2*2*2....}{n(n-1)...3*2*1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0$