Representación física del volumen a la superficie

Question

Estaba buscando en este XKCD lo que-si la pregunta (en el kilometraje parte), y comenzaron a preguntarse sobre el concepto de unidad de la cancelación. Si tenemos una forma y tratar de averiguar la relación entre el volumen y el área de la superficie, el resultado es una longitud. Por ejemplo, una esfera de radio 10 cm tiene el volumen de $\approx 4118 cm^3$ y un área de $\approx 1256 cm^2$. Por lo tanto, el volumen de : área de la superficie es $\approx 3.3 cm$.

Mi pregunta es: ¿cuál es la representación física de longitud en esta relación?

Answer 1

Para el caso de una esfera de la relación que has encontrado es:

$$ \frac{V}{S} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3} $$

En realidad podemos pasar por el volumen como la integral de la superficie de la zona aquí. Eso es pasable cuando compruebe el cálculo.

Uno de los enfoques, a continuación, preguntar "¿qué es una función dividida por su derivado". Esto es muy similar al de la zona a la relación perímetro de un círculo.

$$ \frac{A}{P} = \frac{ \pi R^2}{ 2 \pi R} = \frac{R}{2} $$

Por supuesto que vea el "2" por el valor del exponente, el cual proviene de la existencia de dos dimensiones, como la esfera. Así que ahora que hemos explicado parte de la respuesta, que es la dimensión lineal se divide por el número de dimensiones. Esto es aún insatisfactoria debido a que no tenemos idea clara de cómo debemos definir a este particular, "longitud característica".

Un intento en la resolución de este problema podría ser la prueba de la idea de un cuadrado-cubo de sistema.

$$ \frac{V}{S} = \frac{ R^3}{ 6 R^2} = \frac{R}{6} $$

$$ \frac{A}{P} = \frac{ R^2}{4 R} = \frac{R}{4} $$

Usted puede ver que esto sigue siendo la regla, pero el "longitud característica" es ahora la mitad de la longitud de un lado. Por supuesto, queremos hacer una declaración general para todas las formas. Esto es todavía confusa por la definición de "longitud característica". Así que vamos a evitar haciendo una declaración acerca de la relación de "interioridad" a "outsideness" para cualquier clase de formas, pasando de una dimensión a otra.

$$ \left( \frac{I}{O} \right)_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{I}{O} \right)_{n} $$

Esto nos lleva a la definición de la "longitud característica", que voy a llamar a $l$.

$$ l \equiv n \left( \frac{I}{O} \right)_{n} $$

Por desgracia yo no puede decir que han inventado algo nuevo. Esta es la idea detrás Hidráulico de diámetro. La única diferencia es un factor de 2. 4D estar con un tubo de constante 3D de la sección transversal debería usar la fórmula para calcular el radio hidráulico. Wikipedia también incluye la misma observación que acabo de hacer:

Para un completo llenado del conducto o tubo cuya sección transversal es un polígono regular, el diámetro hidráulico es equivalente al diámetro de un círculo inscrito dentro del perímetro mojado.

He demostrado que esto es cierto, también, el pensamiento de un cubo frente a la esfera. Así que siempre que corregir su $3.3 cm$ multiplicando por el número de dimensiones, usted ha obtenido un tipo generalizado de radio. Otros, más exóticos, las formas no será tan sencillo de explicar. Si usted tenía una esfera con una superficie rugosa y se contó el área que tenía que pintar, esto podría reducir la forma del radio hidráulico.

Una manera de justificar este concepto se refiere a la dinámica de fluidos. El diámetro hidráulico se utiliza porque empuja el líquido a través de un "baches" de la tubería es igual que la bombea a través de una pequeña tubería lisa. Por lo que el número es una especie de proxy para viscoso de la resistencia. Bien, que puede ser de un solo uso.

Answer 2

vamos a considerar algunos ejemplos sencillos: una esfera, un cubo, y un paralelepípedo rectangular. Vamos a denotar la radio de que el volumen de la superficie de un objeto dado por $\ell$, luego tenemos \begin{align} \ell(\mathrm{sphere}) &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{1}{3} R = \frac{1}{6}D \\ \ell(\mathrm{cube}) &= \frac{L^3}{6L^2} = \frac{1}{6}L \\ \ell(\mathrm{parallelepiped}) &= \frac{LWH}{2(LW + LH + WH)} \end{align} donde $R$ es el radio de la esfera, $D$ es el diámetro de la esfera, $L$ es el lado de la longitud del cubo, y $L,W,H$ son la longitud, la anchura y la altura del paralelepípedo rectangular. Observe que en el caso de que el cubo y la esfera, obtenemos una longitud de aproximadamente nos dice acerca de la dimensión lateral del objeto en cualquier dirección dada, de lo que uno podría sentirse inclinado a llamar el "longitud característica." Por otro lado, considere la posibilidad de un paralelepípedo con $W=H=\epsilon$ donde $\epsilon$ es pequeña. En este caso podemos ignorar los términos de la orden de $\epsilon^2$ con relación a la orden de $\epsilon$ términos, y obtenemos $$ \ell = \frac{L\epsilon^2}{2(L\epsilon + L\epsilon + \epsilon^2)}\sim \frac{1}{4}\epsilon $$ y vemos que $\ell$ se hace muy pequeño. Así que en este caso, para un muy de largo, estrecho de paralelepípedo, el ratio da una buena idea de la dimensión lateral en dos de las dimensiones, pero no en la tercera. En general, si usted tiene un objeto que es de aproximadamente esféricamente simétrica (y no patológico de otras maneras), entonces la relación da una buena idea de lo grande que todas las dimensiones del objeto son, pero si esta simetría está ausente, entonces el concepto de longitud característica que define esta relación algo se rompe.

Answer 3

La representación física que depende de la geometría del sistema. En el caso de una esfera, entonces tenemos el simple resultado $$ \frac{V}{A} = \frac{(4\pi/3)R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3}. $$ Es decir, la proporción es de un tercio de la radio.

Ahora esferas son especiales en que se maximice esta relación. Por ejemplo, supongamos que tienes un cubo de lado de longitud $s$. Entonces $$ \frac{V}{A} = \frac{s^3}{6s^2} = \frac{s}{6}. $$ Por supuesto, para asegurarse de que estamos comparando manzanas con manzanas, debemos relacionar $s$ $R$en algunos de manera significativa, por ejemplo por la equiparación de los volúmenes. Si $(4\pi/3)R^3 = s^3$,$s = (4\pi/3)^{1/3} R$, y así el volumen a la superficie de la proporción de la superficie de un cubo es $$ \frac{V}{A} = \frac{1}{6} \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{1/3} R \approx 0.27 R. $$

Muchas cosas en la naturaleza asume formas esféricas debido a esto minimiza la energía potencial asociada con la tensión superficial, sujeto a la restricción de que todas sus "cosas" tiene un volumen fijo.

Por el camino, y la proporción de superficie de la longitud será manifiestamente importante a la hora de estudiar la capacitancia en unidades CGS. La capacitancia de una esfera de radio $R$ $A/(4\pi R) = R$ (sí, centímetros son la unidad de capacitancia en CGS), y la capacitancia de un plano-paralelo director de área $A$ y separación de $d$ (descuidar efectos de borde) $A/(4\pi d)$.

Answer 4

Si usted tiene que dividir el volumen de un área que tiene una longitud (como lo han encontrado), esta longitud es físicamente sólo la longitud de un cilindro, el uso de la XKCD ejemplo (se puede usar cualquier de n lados del prisma) donde el círculo de la cara tiene un área igual al área de la superficie (de la a su forma original).

usted puede ver esta imagen que lo demuestra:

NOTA: La escala entre la esfera y el cilindro no es correcta, la longitud es mucho menor que aquí se presenta.