Respuesta parcial: vamos a considerar el caso más sencillo: vamos a $p=2$. Fijar un $g\in H^{1/2}(\partial \Omega)$. Para cualquier $v \in H^1_0(\Omega)$, si hay algo de $w\in H^1(\Omega)$, la traza de a$w$$g$, luego
$$
w\H^1_0(\Omega)^{\asesino}\iff
\langle w,v\rangle_{H^1}:=\int_{\Omega} (\nabla w \cdot \nabla v + wv) = 0 \quad \text{para todo } v \in H^1_0(\Omega).
$$
Esto es equivalente a decir que el $w$ es la solución débil para
$$
\begin{cases}
-\Delta w + w = 0 &\text{in } \Omega,
\\
w = g\in H^{1/2}(\partial \Omega) &\text{on }\partial \Omega.
\end{casos}\etiqueta{1}
$$
Esto aproximadamente nos dice que el complemento ortogonal de $H^1_0(\Omega)$ deben ser las funciones como $w$.
Tal $w$ está construido de forma similar a una extensión de una $g\in H^{1/2}(\partial \Omega)$. Debido al problema (1)'s bien posedness, podemos definir un operador lineal sobre la base de (1):
$$L: H^{1/2}(\partial \Omega)\to H^1(\Omega),\; g\mapsto Lg:= w.$$
También tenemos $\|Lg\|_{H^1(\Omega)} \leq c\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega)}$. Este resultado dice que el acotamiento de $L$. El argumento puede ser encontrado en los otros dos lemas en las actualizaciones de abajo.
Observe también que si $g=0$,$w=0$, esto implica la intersección es $\{0\}$. Por lo tanto para cualquier $u \in H^1(\Omega)$, vamos a la traza operador $T$
$$
u = \underbrace{L(Tu)}_{\en (H^1_0(\Omega))^{\asesino}} + \underbrace{\big(u - L(Tu)\big)}_{\H^1_0(\Omega)}.
$$
Este argumento se puede extender fácilmente a $p\geq 2$ caso $W^{1,p}\subset W^{1,2}$.
Algunas actualizaciones:
Lema 1: Supongamos $\Omega$, independientemente de la regularidad que se necesita. Deje $u\in H^1(\Omega)$ ser la solución débil de$$
\begin{cases}
-\Delta u + u = f &\text{in } \Omega,
\\
u = g\in H^{1/2}(\partial \Omega) &\text{on }\partial \Omega.
\end{casos}
$$
Hay un $v\in H^1(\Omega)$ tal que $u-v \in H^1_0(\Omega)$, luego
$$
\|u\|_{H^1(\Omega)}\leq C\Big(\|f\|_{H^{-1}(\Omega)} + \|v\|_{H^{1}(\Omega)}\Big).\la etiqueta{2}
$$
Prueba: el Uso de $u-v\in H^1_0$ como la función de prueba:
$$
\int_{\Omega} \nabla u\cdot\nabla(u-v) + \int_{\Omega}u(u-v) = \int_{\Omega}f(u-v),
$$
que es
$$
\|u\|_{H^1(\Omega)} := \int_{\Omega} |\nabla u|^2 +\int_{\Omega}u^2
= \int_{\Omega}f(u-v) + \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v + \int_{\Omega}uv
\\
\leq \frac{1}{\epsilon} \|f\|_{H^{-1}(\Omega)}
\epsilon \|u-v\|_{H^1(\Omega)} + \frac{1}{2}\int_{\Omega}
\big(|\nabla u|^2+|\nabla v|^2\) + \frac{1}{2}\int_{\Omega}(u^2+v^2).
$$
A continuación, utilice la desigualdad de Minkowski de nuevo en $\|u-v\|_{H^1(\Omega)}$, elija $\epsilon$ pequeñas suficiente tal que el $\|u\|_{H^1(\Omega)}$ plazo puede ser absorbido por la izquierda. Observe también la elección de $\epsilon$ es irrelevante de $v$. La estimación de (2) se sigue.
Lema 2: La solución débil $w$ (2) satisface la estimación de $\|w\|_{H^1(\Omega)} \leq c\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega)}$.
Prueba: Seleccione el $v\in H^1_g(\Omega):=\{v\in H^1(\Omega): Tv = g\in H^{1/2}(\partial \Omega)\}$, es decir, las huellas coinciden. Tenemos $w-v\in H^1_0$, por lo tanto, por (2), tenemos
$$
\|w\|_{H^1(\Omega)} \leq C\|v\|_{H^1(\Omega)} \quad\text{para todo }v\in H^1_g(\Omega). \\
\implica c \|w\|_{H^1(\Omega)} \leq \inf_{v\in H^1_g(\Omega)}\|v\|_{H^1(\Omega)}
=: \|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega)}.
$$
El último paso es usar una forma implícita de la introducción de la mitad de la norma (aunque probando este cociente como norma es equivalente a la usual fraccionario de la norma en el límite todavía se necesita una prueba constructiva......).
