Un problema de Shimura y su relación con el campo de clase de teoría

Question

En el Capítulo II.10 de El Mapa de Mi Vida, Goro Shimura menciona un cierto problema:

El segundo tema se refiere a un polinomio $F(x)$, con coeficientes enteros. Tomar $$ F(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1, $$ por ejemplo. Para un entero $n$, consideramos que la descomposición de $F(n)$ en el producto de números primos. Podemos permitir $n$ a ser negativo, pero supongamos $n$ a ser positivo aquí. Así $$ F(1) = -1, F(2) = 7, F(3) = 29, F(4) = 71, F(5) = 139, $$ $$ F(6) = 239, F(7) = 13 \cdot 29, F(8) = 13 \cdot 43, F(9) = 7 \cdot 113, \ldots $$ Los números primos que aparecen como factores de $F(n)$ de una secuencia $$ 7, 13, 29, 43, 71, 113, 139, 239, \ldots $$ Ahora la pregunta es: ¿cuáles son estos números primos? De hecho, se puede demostrar que todo número primo p$$, con exclusión de 7, tiene la propiedad de que p $+1$ o $p-1$ es divisible por 7. Por el contrario, cada primer número aparece como un factor que $F(n)$ para algún entero positivo de $n$.

Mientras que el aprendizaje de la clase de teoría del campo en el mío propio, me di cuenta de que el principal teorema más fácil casos puede ser formulada en términos de factores primos de $F(n)$ como en el anterior, y en ese momento yo estaba muy feliz. El polinomio $F$ no puede ser tomado de manera arbitraria. En realidad, la ecuación $F(x) = 0$ $2 \cos (2\pi/7)$ como una raíz, y que el hecho de que es esencial. Si $F(x) = x^2 - a$ con un entero $$, el problema puede ser resuelto por la ley de la reciprocidad cuadrática. De hecho, mi trabajo posterior en el llamado complejo de multiplicación está estrechamente relacionada con esta cuestión de encontrar $F$ para que la secuencia correspondiente a [la secuencia de enteros arriba] se puede determinar.

Mi pregunta se refiere a los argumentos expuestos en el último párrafo extraído. Es decir, ¿cómo, exactamente, son más fáciles de casos de las Principales Teorema de Campo de la Clase de Teoría relacionada con este problema? Además, ¿cómo compleja multiplicación ayuda en la búsqueda de un polinomio $F$ dada una secuencia de números primos como el anterior?

Answer 1

Conjunto $\alpha = 2 \cos (2 \pi/7))$. Como Shimura dice, $\mathbb{Q}[x]/F(x) \cong \mathbb{Q}(\alpha)$.

Decir que $p$ divide a $F(k)$ $k$ es decir que $F$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$. Esto es básicamente lo mismo que decir que $p$ divide en $\mathbb{Q}(\alpha)$. (Podría haber algunos problemas en relación con los pequeños números primos, aunque creo que no hay en este caso).

Un caso especial de los principales resultados de Campo de la Clase de Teoría es que $p$ factores (y, de hecho, se divide) en $\mathbb{Q}(\alpha)$ si y sólo si $p \equiv \pm 1 \mod 7$. En general, el Campo de Clase de Teoría nos dice que la factorización de p $$ en un campo de número de $K$ es determinado por la congruencia condiciones, siempre que $\mathrm{Ga}(K/\mathbb{Q})$ es abelian. En este caso, $\mathrm{Ga}(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3$.

Esto no es decir que necesita de Campo de Clase de Teoría para establecer este resultado. Debido a que $\mathbb{Q}(\alpha)$ es un subcampo de un cyclotomic campo, también puede establecer todas estas declaraciones en un más elemental forma, el uso de los cálculos con las raíces de la unidad.

Answer 2

Deje que $K$ ser un campo de número y $F$ un polinomio con coeficientes en $K$. Clase de teoría de campo muestra que las propiedades siguientes de $F$ son equivalentes:

(1) no Hay subgrupo de $H$ de una generalización de los ideales del grupo de clase $C_{\mathfrak m}$ (de algunos seleccionados adecuadamente conductor de $\mathfrak m$) y un conjunto finito de primer ideales $S$ (incluyendo todos los números primos que participan en los denominadores de $F$) tal que $F$ divide completamente modulo $\wp$ (de $\wp \no\in S$) si y sólo si la clase de $\wp$ en $C_{\mathfrak m}$ se encuentra en $H$.

(2) La división de campo de $F$ más de $K$ es un abelian extensión.

En Shimura ejemplo, el campo de la $K$ es $\mathbf Q$, el director de orquesta es de $7$, el $S$ es $\{7\}$, y la división de campo es el grado 3 de la extensión de $\mathbf Q$ contenida en ${\mathbf Q}(\zeta_7)$.

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Así pues, en general, para la construcción de $F$ del tipo considerado por Shimura, uno debe construir abelian extensiones de campos de número de $K$. La teoría de los complejos de la multiplicación es una herramienta que permite hacer esto.

Answer 3

Me gustaría escribir algún tipo de resumen de los dos anteriores respuestas. No hay nada nuevo aquí.

Considere la posibilidad de $\mathbb{Q} \subconjunto \mathbb{Q}(\zeta_7)$,(y lo arreglamos $\zeta_7=e^{\frac{2\pi i}{7}}$) este es un abelian Galois de la extensión, y el grupo de Galois es de $(Z/7Z)^{\times}$. Frobenius elemento más de $p$ para $p \neq 7$ (7 es la ramificación) actúa sobre $\zeta_7$ por el envío a su $p$-ésima potencia.

Ahora considere $\alpha=\zeta_7+\zeta_7^{-1}$, que es en $\mathbb{Q}(\zeta_7)$, considerar todas sus Galois conjugados, que son, precisamente, $\alpha_2 = \zeta^2 +\zeta^{-2}$, $\alpha_3=\zeta^3+\zeta^{-3}$. Así que tenemos un total de $\mathbb{Q} \subconjunto \mathbb{Q}(\alpha)$ es de Galois.

Ahora $Frob_p$ mapas de $\alpha$ $\zeta^p + \zeta^{p}$, que es igual a $\alpha$ si y sólo si $p \equiv 1, -1 (mod 7)$. Y son precisamente los números primos que están totalmente divididos en $\mathbb{Q}(\alpha)$. Para aquellos primos, $Z/p = \mathbb{S}_{\mathbb{Q}(\alpha)}/p$, con lo que siempre podemos encontrar algo de $n$, s.t., $\alpha_i \equiv n(mod p)$, lo que equivale a decir que $F(x)$ totalmente dividido en $Z/p =F_p$.

Me alegra saber de este problema y la respuesta, ya que finalmente he encontrado un ejemplo claro de los cíclico de Galois de la extensión de $\mathbb{Q}$...(que yo había estado pensando durante un tiempo...)

También podemos hacer la cosas similares para p=13. acaba de tomar $\beta=\theta +\theta^5+\theta^8+\theta^{12}$,donde $\theta$ es el 13-ésima raíz de la unidad, entonces $P(\beta)$ es de nuevo un cíclica de Galois de la extensión de $P$.

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cuando me dijo cíclico de arriba, yo significaba para cíclico de orden 3. Gracias Pedro por señalar.

Answer 4

Acabo de ver esto y me gustaría añadir que Shimura del ejemplo es el caso más pequeño (a=-1) de la caña de simple cúbica F(x)=x^3-ax^2-(a+3)x-1 con discriminación P^2, P=a^2+3a+9. Cuando P es primo decir por ejemplo. P=13 (a=1) también se señaló anteriormente, 19, 37, 79,97,139,163,...,entonces los números primos dividir F(m) para m son de nuevo de los números primos P y q, que son cúbicos de residuos mod P. El grupo de Galois es otra vez Z/3 por lo que la prueba anterior todavía funciona, de modo explícito, a ver que Z/3 es verificar la relación F(x)=-(1+x)^3 F(g(x)), donde g(x)=-/(x+1) es de orden 3 en PSL2(Z), entonces las raíces son alfa, g(alfa), g^2(alfa) y, por tanto, debe ser todo real.

Answer 5

Quiero añadir que uno obtiene esos resultados sólo para abelian extensiones ("congruencia condiciones no son suficientes"). ¿Cómo se puede demostrar esto? Me gustaría empezar con la norma de limitación teorema.