Clasificación de las representaciones irreducibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema:

Supongamos que $n$ es un entero positivo y $n|p-1$. Clasificar todas las representaciones irreducibles de $$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}.$ $

No estoy seguro de dónde empezar,

Gracias de antemano!!

Answer 1

Supongo que estás hablando de un fiel acción de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. En primer lugar, no son obviamente los ascensores de las representaciones irreducibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$G$. Para el resto:

Ejercicio 1: La inducción de un no-trivial carácter de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $G$es irreductible.

Ejercicio 2: Cuando son dos inducciones isomorfos?

Ejercicio 3: Ahora el recuento de las sumas de los cuadrados de los grados de los personajes que se obtienen de este modo.

Tengo que decir que esto es bastante difícil tarea si no se han dado ninguna de estas sugerencias. Pero con ellos, usted debe ser capaz de hacer el resto a ti mismo.

Edit: Más generalmente, supongamos que $G=A\rtimes H$ donde $A$ es abelian. A continuación, todos los caracteres irreducibles de de $G$ se obtiene de la siguiente manera. $H$ actúa sobre la irreductible personajes de $A$$(h\cdot\chi)(a) = \chi(h^{-1}ah)$. Deje $\chi$ ser un carácter lineal de $A$. Ampliar a $S_\chi=A\rtimes \text{Stab}_H(\chi)$ donde $\text{Stab}_H(\chi)\leq H$ es el estabilizador de $\chi$$H$, en virtud de la acción, mediante el establecimiento $\chi(as) = \chi(a)$$a\in A,s\in \text{Stab}_H(\chi)$. Deje $\rho$ ser una irreductible carácter de $\text{Stab}_H(\chi)$, ascensor a una irreductible carácter de $S_\chi$. A continuación, $\text{Ind}_{G/S_\chi}(\chi\otimes \rho)$ es una irreductible carácter de $G$ y todos ellos surgen de esta manera. Yo se lo dejo a usted para determinar cuando dos de estas inducciones son isomorfos, para no estropear la tarea de ejercicio.

Tenga en cuenta que su pregunta es un caso especial de esto, ya que $H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ actos fielmente en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, y por lo tanto también en su irreductible de los personajes. Por lo tanto, $\text{Stab}_H(\chi)$ es trivial en su caso, siempre que $\chi$ no es trivial.

Answer 2

Echar un vistazo a Weintraub - "Teoría de la representación de grupo finito" en la sección máquina de Mackey. Dan la herramienta adecuada para estudiar exactamente la representación irreducible de un producto semidirecto $H \rtimes G$, donde $H$ es abeliano.

De hecho, la máquina de Mackey tiene en mayor generalidad para una secuencia exacta de los grupos localmente compactos $ 1 \rightarrow H \rightarrow K \rightarrow G \rightarrow 1,$ con algunas condiciones suaves en $H$ (siendo tipo 1).

Answer 3

Aquí es un lugar para empezar, aunque no es una solución completa por cualquier medio. Deje $G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. A continuación,$\mathbb{Z}/n\subset G$$\mathbb{Z}\subset G$.

Si nos restringimos a una representación a uno de estos dos grupos, se dividirá como una suma directa de irreducibles, y debido a que los subgrupos son abelian, esto significa que podemos encontrar una base de vectores propios para la acción de la $\mathbb{Z}/p$ (o una base de vectores propios para la acción de la $\mathbb{Z}/n$).

Supongamos que $\omega$ $p$th raíz de la unidad, y que $v$ es un vector tal que $k.v=\omega^k v$$k\in \mathbb{Z}/p$. Si $j\in \mathbb{Z}/n$, ¿cómo es $k$ actuar en $j.v$? El uso de las relaciones de conmutación de que usted sabe que usted tiene en $G$ entre los elementos de las $\mathbb{Z}/n$ $\mathbb{Z}/p$