¿Si está conectado A, está conectado $\bar{A}$?

Question

Si está conectado, es $\bar{A}$ conectado? Aquí $\bar{A}$ es el cierre de $A$.

Aquí está mi intento a probar esto:

Supongamos que $\bar{A}$ está desconectado. Entonces, existe abierto, distinto, no vacía de subconjuntos de a $U, V$ tal que $U \cup V = \bar{A}$ (Esta es la definición de desconexión que he aprendido)

Entonces podemos escribir como $A = (U \cap A) \cup (V \cap A)$

$U \cap A$ $V\cap A$ es abierto en A. También, que son distintos desde $U$ $V$ son disjuntas. Ahora si me muestran que la $U \cap A$ $V \cap A$ son no vacías luego me sale una contradicción y la prueba es completa. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo hacer esto? O no es verdad que $\bar{A}$ está conectado?

Answer 1

Consejo: Cualquier conjunto abierto que contiene algún punto en el cierre de $A$ también contiene algún punto en $A$.

Answer 2

Usted está en la pista de la derecha con su problema. Ahora afirman que la contradicción. Supongamos que uno de los dos conjuntos de $U \cap A$ o $V \cap A$ está vacía (a elegir uno, sin pérdida de generalidad, quizás $U \cap A$). Entonces esto implica $A \subseteq V \cap A$, lo $A \subseteq V$. Pero desde $U$ $V$ son no vacíos y su unión es igual a $\overline{A}$, $U$ contiene algún punto en $\overline{A}$.

Ahora aplicar Matt Samuel sugerencia de que desde $U$ es abierta y contiene un punto en $\overline{A}$, debe contener un punto en $A$ (usted debe demostrar esta sugerencia, también). Eso significa que $U \cap A \neq \emptyset$, lo que contradice nuestra suposición de que estaba vacía en el primer lugar.

Answer 3

Cualquier conjunto que contenga un subconjunto denso de conectado está conectado. De hecho, decir $X$ es su conjunto y $C$ es densa y conectado. Demuestran que cualquier morfismo $X\to 2$ es constante, teniendo en cuenta la restricción a $C$ y usarlo se conecta. Tenga en cuenta que $2$ es Hausdorff.