¿Por qué no todas las integrales de 0 a $2\pi$ ¿Igual a cero?

Question

Pregunta rápida, puede que acabe teniendo una respuesta sencilla, pero tengo aquí una "prueba" de que cualquier integral de 0 a $2\pi$ es cero, como sigue:

$$\int^{2\pi}_0f(x)dx$$

Ahora, utilizando la sustitución en u, dejemos que $u = \sin x$ Así que $dx = \frac{du}{\cos x}$ Así que..:

$$\int^{0}_{0}\frac{f(x)du}{\cos x}$$

(Los límites se evaluaron a cero debido a la sustitución de la u).

Sin embargo, esto es cero, ya que la integral va de cero a cero.

Se agradecería cualquier ayuda para saber por qué está mal.

Answer 1

El $\sin$ no es inyectiva en $[0 ; 2\pi]$ por lo que es posible que no pueda realizar dicha sustitución. Como no puedes dar fácilmente una inversa, puedes tener alguna dificultad para expresar todo en términos de $u$ .

En su caso, el $\cos(x)$ término que aparece por el cambio de variable no puede expresarse sólo en términos de $u = \sin(x)$ , por lo que la cosa que está integrando "de $0$ a $0$ "no es ni siquiera una función de $u$ :

$\cos(x)$ es $+\sqrt{1-u^2}$ o $-\sqrt{1-u^2}$ donde el signo depende de $x$ (y no en $u$ ), y así $\sin(x)dx$ no es de la forma $f(\sin(x))\cos(x)dx$ para cualquier función $f$ .

Para resolver esto se puede dividir la integral en tres partes (dividiendo el intervalo en $\pi/2$ y $3\pi/2$ ) y hacer $3$ sustituciones separadas y obtendrá algo verdadero pero mayormente inútil.

Gracias al usuario @m_t_ por señalar que en caso de que esto no ocurra, se aplica la regla de sustitución.

Answer 2

Hagámoslo con cuidado. $$ A = \int_0^{2\pi} f(x)\,dx $$ Utilice la sustitución $u = \sin x$ .

Tenemos que calcular $x$ en términos de $u$ . Bueno, $x = \arcsin u$ pero eso sólo es válido para $-\pi/2 \le x \le \pi/2$ . Fuera de ese intervalo, tendrá otras fórmulas para $x$ en términos de $u$ .

¿Qué pasa con la informática? $dx$ ? O bien $dx = \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$ o $dx = \frac{-\, du}{\sqrt{1-u^2}}$ dependiendo de si nos encontramos en un intervalo en el que $\sin x$ aumenta o disminuye.

Así que su resultado no es tan sencillo como pensaba.

Answer 3

Escribe la integral en términos de $u=\sin(x)$ . Para evitar los lugares donde $\sin(x)$ no es $1{-}1$ tenemos que romper la integral: $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\frac{f(\arcsin(u))}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u\\ &-\int_1^{-1}\frac{f(\pi-\arcsin(u))}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u\\ &+\int_{-1}^0\frac{f(2\pi+\arcsin(u))}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u\\ \end{align} $$ El signo menos en la integral de $1$ a $-1$ es porque necesitamos el negativo de la raíz cuadrada para obtener la $\cos(x)$ .

Si no prestamos mucha atención al mapeo entre $x$ y $u$ podemos caer en la falacia que usted sugiere.

Answer 4

Fíjate bien que estás haciendo una sustitución "inversa" " $u = \sin x$ ", no un "ordinario (o $u$ -)sustitución" de la forma $x = X(u)$ . Para que tu conclusión se derive del teorema del cambio de variables, necesitarías $$ \int_{0}^{2\pi} f(x)\, dx = \int_{0}^{0} g(u)\, du $$ para alguna función $g$ . Su argumento propone "resolver" $f(x) = g(\sin x) \cos x$ para $g$ para que $$ \int_{a}^{b} \underbrace{g\bigl(u(x)\bigr) u'(x)}_{f(x)}\, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g(u)\, du. $$ Pero a pesar de las apariencias casuales, no existe tal función $g$ porque, como dice mercio, tu sustitución no es invertible (inyectiva).

En los símbolos, se quiere escribir $$ g(u) = \frac{f(\arcsin u)}{\cos x} = \frac{f(x)}{\cos x}. $$ Sin embargo, $\arcsin(\sin x) \neq x$ si $|x| > \pi/2$ , por lo que esta opción formal no funciona.

Dicho de otro modo, la función $\phi(x) = g(\sin x) \cos x$ satisface la simetría no trivial $\phi(\frac{\pi}{2} - x) = -\phi(x)$ para todos $x$ ( $\phi$ es "impar con respecto a $\frac{\pi}{2}$ "), mientras que $f$ no es necesario.

En cualquier caso, si $f$ se da generalmente no hay $g$ tal que $f(x) = g(\sin x) \cos x$ por lo que su prueba no se levanta.