Cada grupo finito un subgrupo normal de un grupo simétrico?

Question

Por Cayley del teorema, sabemos que para cualquier grupo finito $G$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_N$, el grupo simétrico de a $N$ letras. Podemos probar que para cada grupo finito $G$ hay algún grupo simétrico $S_N$ tal que $G$ es isomorfo a un $normal$ subgrupo de $S_N$?

Answer 1

SUGERENCIA: Tratar de demostrar que para $n \ge 5$, $A_n$, la alternancia grupo de $n$ elementos es la única correcta y no trivial normal subgrupo de $S_n$.

ACTUALIZACIÓN: Esto tiene que ver algo con el hecho de que $A_n$ es simple para $n \ge 5$. Después de probar esta y la comprobación de los casos $n \le 4$ podemos concluir que un subgrupo normal del grupo simétrico tiene orden de $1, 4, \frac{n!}{2}$ o $n!$. Por lo tanto...

Answer 2

En general (es decir, para $N \neq 4$), la única normal subgrupos de $S_N$ $S_N$ sí, $A_N$, e $1.$ por lo Tanto no, porque la mayoría de las $G$ no se asignan a uno de estos. ($S_4$ tiene un subgrupo normal, el Klein $4$-grupo de ocultar).