Posiblemente el conjunto teórico de la cuestión, en general, de la topología de

Question

Vamos $A\subseteq \scr{P}$$(X)$$,B\subseteq$$\scr{P}$$( Y)$. Deje $\tau_X$ ser el más pequeño de la topología en $X$ que contiene el conjunto de $A$. Deje $\tau_Y$ ser el más pequeño de la topología en $Y$ que contiene el conjunto de $B$. Deje $f:X\rightarrow Y$ satisfacer:

$$\forall V\in B[f^{-1}[V]\in A]$$

De lo anterior se sigue que el $f:X\rightarrow Y$ es continua ?

Después de tratar de probar y fallar, creo que el problema es establecer teórico. Sin embargo, yo no puedo continuar porque todos los de mi conocimiento de la teoría de conjuntos que lo tengo desde el primer capítulo de Munkres topología !

Answer 1

Su hipótesis dice que el $A$ es una subbase para $\tau_X$, e $B$ es una subbase para $\tau_Y$. De ello se desprende que $\mathscr{B}_X=\left\{\bigcap\mathscr{F}:\mathscr{F}\subseteq A\text{ is finite}\right\}$ es una base para $\tau_X$, y del mismo modo que $\mathscr{B}_Y=\left\{\bigcap\mathscr{F}:\mathscr{F}\subseteq B\text{ is finite}\right\}$ es una base para $\tau_Y$. Para comprobar la continuidad de $f$, es suficiente para mostrar que $f^{-1}[V]\in\tau_X$ por cada $V\in\mathscr{B}_Y$.

Si $V\in\mathscr{B}_Y$, hay un número finito de $\mathscr{F}\subseteq B$ tal que $V=\bigcap\mathscr{F}$. Entonces

$$f^{-1}[V]=f^{-1}\left[\bigcap\mathscr{F}\right]=\bigcap\left\{f^{-1}[F]:F\in\mathscr{F}\right\}\in\mathscr{B}_X\subseteq\tau_X\;,$$

por lo $f$ es de hecho continuo.

Answer 2

(Gracias por esta pregunta, y a Brian M. Scott para su respuesta. Esto dio como resultado un delicioso par de horas de cavar de nuevo en la vieja topología de notas de mis días en la universidad.)

Estoy publicando esta respuesta, esencialmente con el Señor Scott de la prueba, destacar dos relacionadas con el razonamiento de principios que son útiles en topológica de las pruebas.

Primero, algunas anotaciones que he inventado yo, y que me parece útil cuando se trabaja con bases y subbases: se denota el cierre de cualquier conjunto de $D$ bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones $D^\cup$$D^\cap$, respectivamente: $$ \begin{align} & D^\cup = \left\{ \bigcup \mathscr{F} \:|\: \mathscr{F} \subseteq D \right\} \\ & D^\cap = \left\{ F \cap G \:|\: F,G \in D \right\} \\ \end{align} $$

El primer principio, que el Señor Scott se invoca cuando él dice "basta", pero sin demostrar (2) a continuación, es que para cualquier predicado $\phi(V)$ sobre $V$,$$ \langle \forall V \D^\cup :: \phi(V) \rangle \;\equiv\; \langle \forall V \D :: \phi(V) \rangle $$ if we can show that $\langle \forall V \en \mathscr{F} :: \phi(V) \rangle \;\Rightarrow\; \phi(\bigcup \mathscr{F}) \rangle$ for all $\mathscr{F} \subseteq D$. Del mismo modo el segundo principio dice que $$ \langle \forall V \D^\cap:: \phi(V) \rangle \;\equiv\; \langle \forall V \D :: \phi(V) \rangle $$ follows from $\phi(F) \de la tierra \phi(G) \;\Rightarrow\; \phi(F \cap G)$ for all $F,G \D$. Como veremos, estos principios pueden reducir una prueba para una topología a una prueba para un base, y uno de base para una para una subbase.

Ahora para la prueba en sí. Nos gustaría saber si $f$ es continua, o (por definición) si $$ (0) \;\;\; \langle \forall V \en \tau_Y :: f^{-1}[V] \en \tau_X \rangle $$ and we are given that $$ (1) \;\;\; \langle \forall V \in B :: f^{-1}[V] \en \rangle $$ Ya que estos tienen una estructura similar, y ya que estamos, también, dado que $$ \begin{align} & \tau_Y \text{ is the smallest topology on } Y \text{ containing } B \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of subbase"} \\ & B \text{ is a subbase for } \tau_Y \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"property of subbase"} \\ & B^\cap \text{ is a base for } \tau_Y \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of base"} \\ & B^{\cap\cup} = \tau_Y \\ \end{align} $$ parece que merece la pena probar y reducir el $(0)$ $(1)$el uso de los principios anteriormente mencionados. Que funciona muy bien: $$ \begin{align} & \langle \forall V \in \tau_Y :: f^{-1}[V] \in \tau_X \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"by the above calculation"} \\ & \langle \forall V \in B^{\cap\cup} :: f^{-1}[V] \in \tau_X \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"using the first principle and (2) below"} \\ & \langle \forall V \in B^\cap :: f^{-1}[V] \in \tau_X \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"using the second principle and (3) below"} \\ & \langle \forall V \in B :: f^{-1}[V] \in \tau_X \rangle \\ \Leftarrow & \;\;\;\;\;\text{"using %#%#%"} \\ & \langle \forall V \in B :: f^{-1}[V] \in A \rangle \\ \end{align} $$ Para demostrar $$ (2) \;\;\; \langle \forall V \en \mathscr{F} :: f^{-1}[V] \en \tau_X \rangle \;\Rightarrow\; f^{-1}\left[\bigcup\mathscr{F}\right] \en \tau_X \; \text{ para todo } \mathscr{F} \subseteq B^\cap $A \subseteq \tau_X$B^\cap \subseteq {\tau_Y}^\cap = \tau_Y$$ we observe that $B \subseteq \tau_Y$ (since $\tau_Y$ and $\mathscr{F} \subseteq \tau_Y$ $$ \begin{align} & f^{-1}\left[\bigcup\mathscr{F}\right] \in \tau_X \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"distribution property of %#%#%"} \\ & \bigcup\left\{ f^{-1}[V] \:|\: V \in \mathscr{F} \right\} \in \tau_X \\ \Leftarrow & \;\;\;\;\;\text{"%#%#% is a topology, so closed under arbitrary union"} \\ & \langle \forall V \in \mathscr{F} :: f^{-1}[V] \in \tau_X \rangle \\ \end{align} $$ Del mismo modo, vamos a comprobar $$ (3) \;\;\; f^{-1}[F] \en \tau_X \de la tierra f^{-1}[G] \en \tau_X \;\Rightarrow\; f^{-1}[F \cap G] \en \tau_X \; \text{ para todo } F,G \in B $ is a topology), and for any $B \subseteq \tau_Y$^{-1}$F,G \en \tau_Y$: $$ \begin{align} & f^{-1}[F \cap G] \in \tau_X \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"distribution property of %#%#%"} \\ & f^{-1}[F] \cap f^{-1}[G] \in \tau_X \\ \Leftarrow & \;\;\;\;\;\text{"%#%#% is a topology, so closed under finite intersection"} \\ & f^{-1}[F] \in \tau_X \land f^{-1}[G] \in \tau_X \\ \end{align} $$ Esto completa la prueba de $\tau_X$: $$ by using $ es continua.

Por último, tenga en cuenta que no necesitamos el hecho de que $, and for any $ es el más pequeño de la topología en $^{-1}$ contiene $\tau_X$.