Añadimos los números negativos y cero a la secuencia natural para que sea cerrado debajo substracción, lo mismo sucede con la división (números racionales) y raíz de -1 (números complejos).
¿Por qué este truco no es realizada con la división por cero?
Usted puede agregar la división por cero a los números racionales si tienes cuidado. Digamos que un "número" es un par de números enteros se escriben en la forma $a\sobre b$. Normalmente, diríamos también que $b\no=0$, pero hoy vamos a omitir. Vamos a llamar a los números de la forma $a\sobre 0$ deformado. Los números que no están deformadas son rectas.
Por lo general nos gusta decir que ${un\sobre b} = {c\sobre d}$ si $ad=bc$, pero hoy vamos a restringir y dicen que sólo se aplica si ni $b$ ni $d$ es 0. De lo contrario, tendremos que ${1\over 0} = {2\más de 0} = {-17\más de 0}$, que no es tan interesante como podría ser. Pero incluso con la restricción, todavía tenemos ${1\over 2}={2\más de 4}$, por lo que la recta de los números todavía se comportan como esperamos. En particular, todavía tenemos la regular enteros: integer $m$ aparece como la recta número $m\más de 1$.
Además se define como de costumbre: ${un\sobre b} + {c\sobre d} = {ad+bc\más de bd}$. Así es la multiplicación: ${un\sobre b} \cdot {c\sobre d} = {ac\más de bd}$. Tenga en cuenta que cualquier suma o el producto que incluye un combado número ha alabeado resultado, y cualquier suma o el producto que incluye $0\sobre 0$ tiene un resultado de $0\más de 0$. El perverso números son como un agujero que se puede caer en pero usted no puede salir, y $0\más de 0$, es un profundo agujero en el interior del primer agujero.
Ahora, como Chris Águila indicó, que algo debe de ir mal, pero no es tan malo como podría parecer a primera. La adición y la multiplicación son todavía conmutativa y asociativa. En realidad no se puede demostrar que $0=1$. Vamos a ir a través de Chris Águila prueba y ver lo que va mal. Chris Águila comienza por escribir $1/0 = x$ y, a continuación, multiplicando ambos lados por 0. 0 en nuestro sistema es de $0\más de 1$, con lo que obtenemos ${1\over 0}{0\más de 1} = x\cdot 0$, entonces ${0\más de 0} = x\cdot 0$. De inmediato la prueba falla, ya que quiere tener 1 en el lado izquierdo, pero tenemos $0\más de 0$, que es diferente.
Entonces, ¿qué hace ir mal? No cada número tiene un recíproco. El recíproco de $x$ es un número $y$ que $xy = 1$. Warped números no tienen recíprocos. Puede que desee que el recíproco de $2\sobre 0$ $0\más de 2$, pero ${2\más de 0}\cdot{0\over 2} = {0\más de 0}$, ${1\over 1}$. Así que en cualquier momento usted quiere tomar el recíproco de un número, usted tiene que demostrar primero que no está deformado.
Del mismo modo, se doblan los números no negativos. No hay un número $x$ con ${1\over 0}+x = 0$. Por lo general $x$ y se define a ser de $x + (-y)$, y que ya no funciona, así que si queremos que resta tenemos que encontrar algo más. Podemos evitar fácilmente mediante la definición de ${un\sobre b} - {c\sobre d} = {ad-bc\más de bd}$. Pero luego de perder la propiedad que $x - y + y = x$, que sólo vale para la recta de los números. Del mismo modo, podemos definir la división, pero si quieres simplificar $xy÷$ y $x$ tendrás que demostrar primero que $y$ es recto.
Qué otra cosa va mal? Hemos dicho que queremos que ${un\sobre b} = {ka\más de kb}$ cuando $a\sobre b$ es recto y $k\no=0$; por ejemplo queremos que ${1\over 2}={10\más de 20}$. También nos gustaría que ${un\sobre b}+{c\sobre d} = {ka\más de kb} + {c\sobre d}$ en las mismas condiciones. Si $c\sobre d$ es recto, esto está muy bien, pero si $d=0$, a continuación, nos dan ${bc\más de 0} = {kbc\más de 0}$. Desde $bc$ podría ser 1, y $k$ puede ser cualquier entero distinto de cero, tendríamos ${p\más de 0} = {q\más de 0}$ para todo distinto de cero $p$ y $q$. En otras palabras, todos nuestros deformado números son iguales, excepto por $0\más de 0$. Tenemos una elección acerca de si aceptar esto. La alternativa es decir, la ley que $a + c = b + c$ cuando $a = b$ se aplica sólo cuando $c$ es recto.
En este punto, usted debe comenzar a ver por qué nadie lo hace. La adición de un valor de $c$ a ambos lados de una ecuación es una técnica esencial. Si tiramos a cabo técnicas tan importante como eso, no vamos a ser capaces de resolver cualquier problema. Por otro lado, si mantenemos las técnicas y realizar todo el warped números iguales, entonces realmente no nos dicen nada acerca de la respuesta, excepto que debe haber usado un combado número en algún lugar a lo largo del camino. Nunca obtener resultados provechosos de la aritmética, en el warped números: ${un\más de 0} + {b\por encima de 0} = {0\más de 0}$ para todo $a$ y $b$. Y una vez que estés en la urdimbre de la zona que no puede volver a salir; la respuesta a cualquier pregunta relacionada con la deformada de los números es un combado número en sí. Así que si quieres un resultado útil, usted debe evitar el uso deformado números en sus cálculos.
Así que vamos a decir que cualquier cálculo que incluye un combado número en cualquier parte, es "echado a perder", porque no vamos a obtener ninguna respuesta útil a la final. En el mejor de los que vamos a obtener un combado respuesta, y estamos más probabilidades de obtener $0\más de 0$, lo que no nos dice nada. Nos gustaría alguna garantía de que un determinado cálculo no va a ser echado a perder. ¿Cómo se puede obtener esa garantía? Asegurándose de que nunca usamos deformado números. ¿Cómo podemos evitar el combado de los números? Oh... la prohibición de la división por cero!!!
También me gustaría señalar que la IEEE de punto flotante especificación permite la división por cero. Incorpora tres números no estándar, que se llama infinito, el infinito negativo, y "NaN", que es la abreviatura de "No es un Número". $a\sobre 0$ es el infinito, el infinito negativo, o NaN según como si $a$ es positivo, negativo o cero, respectivamente.
El infinito representa una condición de desbordamiento. Así que usted puede agregar dos muy grandes, números positivos y obtener un resultado de infinito. Como resultado, IEEE de punto flotante los números no obedecer a muchos de los habituales de las leyes matemáticas. Por ejemplo, $(a+b)+c = a+(b+c)$ puede fallar: supongamos que $a = b = c$ y todos son grandes. Si $a+b$ desborda, el lado izquierdo de la igualdad va a ser infinito, pero el lado derecho será la cantidad finita de $a$.
El comportamiento en algunos casos puede ser muy sutil y contra-intuitivo. Pero es ampliamente utilizado en la práctica.
He aquí una prueba de que $1/0$ no puede existir:
Supongamos que $1/0=x$.
Entonces $1=0 \cdot x$.
Por lo que $1=(0+0) \cdot x$.
Por lo que $1=0\cdot x + 0 \cdot x=1+1$.
Por lo que $0=1$. Contradicción.
Por lo tanto, si vamos a ampliar nuestro número de sistemas por lo que dividiendo por $0$ tiene sentido, tenemos que cambiar las cosas para que de una paso en esta prueba no funciona. Echemos un vistazo a lo que las propiedades de la prueba utilizada.
Primero supuse que si $a/b=c$, entonces $a=b \cdot c$. Esta es la definición de la propiedad de la división. Si hemos de renunciar a ella, la que resulta la cosa no merece ser llamado división.
Entonces supuse que $0=0+0$. Haciendo de este falso sería una bonita redefinición radical de la suma: ninguna de las extensiones de mencionar que implican la redefinición de la suma de los números que tenemos ya.
A continuación he utilizado que $(a+b)\cdot c=a \cdot c + b \cdot c$. Esta es una de las claves de la relación entre la adición y la multiplicación. Usted podría dar a este, pero el resultado va a ser bastante raro.
A continuación he utilizado que, si $a=a+b$, entonces $0=b$. De nuevo, usted podría dar a esta clave de propiedad de la suma, pero obtendrá una extraña estructura como un resultado.
Finalmente he usado $1$ no es igual a $0$. De nuevo, una "extensión" que se mete con los números que tenemos ya como que es bastante raro de extensión.
En resumen, mientras que usted puede ampliar su número de sistema para permitir la división por $0$, para ello se requiere romper mucho más reglas fundamentales de la lógica y la aritmética de lo necesario en la construcción de los racionales o los complejos. Como resultado, las estructuras de obtener no son muy agradables y no del todo útil.
El "truco" de extender el sistema de número de preguntar acerca de es dirigida por Patrick Suppes en su Introducción a la Lógica, Capítulo 8, Apartados 5 y 7, tituladas, respectivamente, "el Problema de La División por Cero" y "Cinco Aproximaciones a la División por Cero". (Estas secciones comienzan en las páginas 181 y 184 de la PDF enlazadas, no las páginas que aparecen en la tabla de contenido). Su truco es el cuarto de los cinco enfoques que figuran en la Sección 8.7. Como Suppes notas, este enfoque es la "solución de la que es, probablemente, más en consonancia con el ordinario de la práctica de matemáticas."
Un ejemplo de enfoque de cuatro es la Esfera de Riemann o extendida plano complejo. Algunos discusión de la misma en relación a la división por 0 puede ser encontrado en la entrada de la División por Cero en MathWorld–Wolfram los Recursos de la Web.
Sin embargo, hay contextos en los que la división por cero puede ser considerado como definido. Por ejemplo, la división por cero a $z/0$ para $z \in \mathbb{C}^* \neq 0$ en el plano complejo extendido de $\mathbb{C}-^*$ se define como una cantidad conocido como complejo de infinito.
¿Qué se gana? Roger Penrose destaca dos ventajas en sus libros El Camino a la Realidad, La Nueva Mente del Emperador, y las Sombras de la Mente:
Pueden acercarse a los cuatro llevarse un paso más allá? He hecho algún trabajo en un esfuerzo para demostrar que sí, se puede. El siguiente paso es extender el sistema de número en el curso de la división por un número nuevo de cero. Mi papel, Reemplazando 0: NonEuclidean Aritmética, explora a tu pregunta con esto en mente. Como sugiere el subtítulo, el ejemplo de nonEuclidean geometrías es seguido por la alteración de los axiomas de estándar de la aritmética para permitir un nuevo número cero.
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