Los números de los círculos alrededor de un círculo

Question

"Cuando se dibuja un círculo en un plano de radio $1$ puede perfectamente rodean con $6$ otros círculos del mismo radio."

PERO cuando se dibuja un círculo en un plano de radio $1$ e intentar perfectamente rodean el círculo central con $7$ círculos que tenga que cambiar la radio de la envolvente de los círculos.

¿Cómo puedo encontrar el radio de la envolvente de los círculos de si quiero usar más que $6$ círculos?

ex : $7$ círculos de radio $0.4$

$8$ círculos de radio $0.2$

Answer 1

Imagine $n \geq 3$ círculos alrededor de su círculo unidad. A continuación, la situación quedaría así:

De dónde $\cos(x)=\frac{r}{r+1}$. El ángulo de $x$ es la mitad del ángulo interior de la correspondiente polígono regular, por lo $x=\frac{n-2}{2n} \cdot 180^\circ$. Usted puede entonces resolver para $r=\dfrac{\cos(x)}{1-\cos(x)}$.

Por ejemplo

• al $n=4$ tenemos $r=\dfrac{\cos(45^\circ)}{1-\cos(45^\circ)}=1+\sqrt{2}=2.41421\ldots$.
• al $n=6$ tenemos $r=\dfrac{\cos(60^\circ)}{1-\cos(60^\circ)}=1$.
• al $n=8$ tenemos $r=\dfrac{\cos(67.5^\circ)}{1-\cos(67.5^\circ)}=0.619914\ldots$.

Answer 2

Vamos a recordar un hecho muy sencillo acerca de la situación cuando tenga n círculos idénticos, $n\geq3$ perfectamente que rodea el círculo unidad. Si nos conectamos todos los puntos de intersección de estos círculos con el círculo unidad obtenemos un polígono regular inscrito el círculo unidad. La longitud lateral de la fórmula del polígono regular inscrito en un círculo es $l=2r\sin(\frac{\pi}{n})$, $n$ - el número de lados del polígono es igual al número de los alrededores de los círculos. En nuestro caso $l=2\sin(\frac{\pi}{n})$. Ahora imagina que en toda la imagen, sólo queda el círculo unitario y dos de los alrededores de los círculos que son el uno contra el otro. Conecte los tres centros de estos círculos y también considerar el lado del polígono en el interior del círculo unidad y obtener triángulos semejantes que por el teorema de Thales rendimiento:

$$ \frac{l}{2r}=\frac{1}{1+r};r=\frac{2\sin(\frac{\pi}{n})}{2-2\sin(\frac{\pi}{n})}=\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{1-\sin(\frac{\pi}{n})}.$$

La prueba está completa.