Extensión continua de funciones analíticas

Question

Es posible demostrar la siguiente instrucción o hay un contra-ejemplo:

Deje $H=\{y>0\}$ ser la mitad superior del plano en el plano complejo. Si $f$ es una analítica de la función en $H$ y su parte real es continuamente extensible en el cierre de $H$,$\overline H$, $f$ es continuamente extensible en $\overline H$.

Answer 1

Definir $$ g(z)= \int_0^{2\pi}\frac{1}{1-e^{-it}z}\,\mathrm dt$$ en la unidad de disco. Se obtiene mediante el cálculo de la integral de Cauchy para lograr la $g(z)=i$ $z\in S^1$ con parte imaginaria positiva y $g(z)=0$ $z\in S^1$ negativas para la parte imaginaria. Tranfering esto a través de un bihomomorphic mapa de $\mathbb H\to \mathbb D$ a la mitad superior del plano, es decir, dejar que $$ f(z)=g\left(\frac{iz + 1}{z+i}\right)$$ a continuación, debe hacer el truco.

Answer 2

Esta es la idea: Deje $\mathbb H$ denotar la mitad superior del plano. Deje $U=H\setminus i\cdot[0,1]$ $f\colon U\to i\mathbb H$ dada por el mapeo de Riemann teorema. Esto no debe ser demasiado difícil de escribir $f$ explícitamente. A través de un adecuado automorphism de $\mathbb H$, podemos suponer que ese $f$ es "simétrica" y, a continuación, uno ve que $f^{-1}$ se extiende hasta el límite. Esto implica que $\Re f(z)\to 0$ si $z\to a\in\mathbb R$, pero $\lim_{z\to0}f(z)$ no existe.

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Aquí hay algo más explícito: $g(z)=iz+\frac iz$ mapas de $S^1\to[-2i,2i]$$i\mathbb R\cup\{\infty\}\to \mathbb R\cup\{\infty\}$. Para las regiones constituye, entre otras, biholomorphic mapa $$-i\mathbb H\setminus \overline{ \mathbb D}\longrightarrow \mathbb H\setminus (0,2i]$$ que se extiende continuamente a la frontera -, sino por la inversa de la continuación para el límite de falla. Nos encontramos con que a la inversa $$ \mathbb H\setminus (0,2i]\longrightarrow -i\mathbb H\setminus \overline{ \mathbb D}$$ está dada por $$ g^{-1}(z) = \frac{-iz+\sqrt{-z^2-4}}{2} $$ donde tomamos la raíz cuadrada positiva con parte real (que existe porque $z$ no es ni real ni en $(0,2i]$). Si $a\in\mathbb R$ $$\Re g^{-1}(z)= \frac{\Im z+\Re\sqrt{-z^2-4}}{2}\to 0 $$ como $z\to a$. Sin embargo, como $t\to 0^+$ hemos $$ g^{-1}((\pm1+i)t)=\frac{t\mp t+\sqrt{\pm2it^2-4}}{2} \to\pm i,$$ de dónde $f:=g^{-1}$ es un contra-ejemplo, como se pidió.

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Observación: Tomar la declaración del problema, literalmente (I implícitamente asumido por encima de ese $U$ debe ser una región y no sólo un conjunto abierto), un simple contraejemplo: Vamos $U=(-1,0)\times(0,i)\cup (0,1)\times(0,i)$, $I=(-1,1)$, $f(z)=0$ si $\Re z<0$ $f(z)=i$ si $\Re(z)>0$.

EDIT: Después de la reformulación de la pregunta, esta respuesta ya no se aplica. (Es un ejemplo de

$U\subseteq \mathbb H$, $\mathbb R\subseteq \partial U$, $f\colon U\to \mathbb C$ analítica, $g\colon U\cup \mathbb R\to \mathbb R$ continuo, $g|_U=\Re f$ y no hay ninguna extensión continua de $f$$U\cup\mathbb R$.

mientras que la edición del planteamiento del problema pregunta

$f\colon \mathbb H\to \mathbb C$ analítica, $g\colon \mathbb H\cup \mathbb R\to \mathbb R$ continuo, $g|_{\mathbb H}=\Re f$. Hay siempre una extensión continua de $f$$\mathbb H\cup\mathbb R$?

)

Answer 3

Una respuesta correcta que no se ha dado todavía. Por desgracia no puedo tomar la recompensa de la espalda. :(