Denso conjunto en $[0,\infty)$

Question

Quiero demostrar que la $M=\{2^a 3^b: a,b \in\mathbb Z\}$ es denso $[0,\infty)$

Por lo tanto, quiero mostrar que la $\overline{M}=[0,\infty)$

$\overline{M}\subseteq[0,\infty)$ porque $M\subseteq[0,\infty)$

En el otro sentido he un elemento $x\in[0,\infty)$, ahora tengo que demostrar que $\exists (x_n)\in\overline{M}:x_n\rightarrow x$, yo.e para mostrar $\exists (a_n)(b_n)\in\mathbb Z:x_n=2^{a_n}3^{b_n}\rightarrow x$.

Me podrían ayudar con la dirección?

EDIT: Como se discute en los comentarios, por supuesto que hay diferentes maneras de probar este resultado, pero me gustaría estar más interesados en la continuación de mi enfoque. Si usted conoce los diferentes enfoques de soluciones también es interesante saber y hablar sobre ellos.

Answer 1

En general si $x,y\in\mathbb N, \ y>1$ y hay un primer $p$ tal que $p\mid x$ $p\nmid y$ entonces el conjunto $M=\{x^a y^b: a,b \in\mathbb Z\}$ es denso en $[0,\infty)$.

Prueba:
Kronecker del teorema puede enunciarse como:
Si $\xi$ es irracional entonces el conjunto $\{n\xi+m:n,m\in\mathbb Z\}$ es denso en $\mathbb R$.
Ahora uso el hecho de que $\frac{\ln x}{\ln y}$ es irracional.

Answer 2

Deje $x>0$ y deje $\varepsilon>0$. Como en P. de la prueba, que se ve bien para mí, podemos optar $a,b\in\mathbb Z$, de modo que

$$x< 2^a 3^b <x+\varepsilon.$$

Para ver esto, basta con tomar el logaritmo y la brecha a través de por $\log(3)$ a demostrar que su desigualdad es equivalente a

$$\frac{\log(x)}{\log(3)} < a\frac{\log(2)}{\log(3)}+b < \frac{\log(x+\varepsilon)}{\log(3)}.$$

De nuevo, como en P. la respuesta, la existencia de $a$ $b$ sigue a partir del teorema de Kronecker.

Por último, si realmente se desea construir una secuencia de números tales que converge a $x$, simplemente elija $a_n$$b_n$, de modo que

$$x< 2^{a_n} 3^{b_n} <x+\frac{1}{n}.$$

A continuación, la secuencia definida por $x_n = 2^{a_n} 3^{b_n}$ satisface sus necesidades.