Encontrar el mayor poder de la $104$ que se divide $10000!$

Question

Encontrar el mayor poder de la $104$ que se divide $10000!$

Pensé $$104=2^3\cdot13$$ so I have to find $n$ such that $$(2^3\cdot13)^n\mid 10000!$$ Obviously, we can see that there are fewer factors $13$ than $2$, then to solve this, we need to find the largest power of $13$ that divides $10000!$

$$E_{13}(10000!)=\left[\frac{10000}{13} \right]+\left[\frac{10000}{13^2} \right]+\left[\frac{10000}{13^3} \right]=769+59+4=832$$ As $13^4>10000$ then stopped at $13^3$.

$\fbox{Therefore, the higher power 104 that divides 10000! is 832}$

Es esto correcto? Porque puedo decir que hay dos factores más que trece?

Answer 1

El número de veces que un primer divide un determinado factorial, se podrían derivar de este modo (ejemplo 13)

Para 10000!, hay 769 múltiplos de 13 años, la producción de cada una principal de 13 años, y un número cuyo producto es de 769!. (es decir, no hay 13*1, 13*2, ..., 13*769).

Para 769!, hay 59 múltiplos de 13 y 59! es lo que se obtiene al dividir el producto de estos múltiplos de 13.

y así sucesivamente, 59! y, a continuación, 4!.

Cuando uno utiliza una potencia de 13 de decir 2197 (o 1.0.0.0 base 13), hay 1.0.0 múltiplos de 13 y 1.0 múltiplos de 169 de la oit, y el 1 de varios de 2197. Ya que cada dígito en cada lugar sigue esta regla, se encuentra que 1.1.1 = (1.0.0.0 - 1)/12, etc.

Entonces, uno puede encontrar el número de 13 años en un número, si uno sabe de los dígitos de un número en base 13: ie 10000 = 4,7,2,3. Estos números añadir a 4+7+2+3 = 16, y 10000-16 = 12* = 832.

Desde que uno espera, a continuación, un divisor de p en promedio una vez cada (p-1), es bastante fácil de trabajar dominar el prime(s) a la vista.

104, tenemos 2 (que produce en promedio, uno de cada lugar, pero 8 requiere de 3 lugares), y 13 (uno cada 12 lugares), por lo que sólo necesita comprobar el 13.

Para algo como 720 o 12, esperamos que este número cada 4 o 2 lugares, pero tenemos que comprobar cada primo, ya 2^4, 3^2, 5^1 cada uno iba a aparecer una vez cada cuatro lugares.

Answer 2

Yo no comprobar su cálculo, pero esto es justo. Si quieres una prueba, simplemente escriba la misma suma con $8$ sustitución de $13$; esta es una subestimacion de cuántas veces $8$ divide $13!$ ya que ignora incluso los números que no son múltiplos de $8$, pero aún es mayor que la suma que escribió (incluso sin calcular, ya que es el plazo para plazo mayor y hay más términos).