Deje ${f_n}$ ser una secuencia de funciones integrables en $\mathbb{R}$ tal que $f_n\rightarrow f$ en casi todas partes.

Question

Deje ${f_n}$ ser una secuencia de funciones integrables en $\mathbb{R}$ tal que $f_n\rightarrow f$ en casi todas partes. También tenemos $f\in L^1(\mathbb{R})$$\int_{\mathbb{R}}f_n\rightarrow \int_{\mathbb{R}}f$.

Yo quiero probar: Para todos los $\epsilon>0$, existe un conjunto medible $A\subset\mathbb{R}$ con un límite de medida, una función integrable $g\geq 0$, y un entero$N\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n\geq N$,

$|\int_{\mathbb{R}\backslash A}f_n|<\epsilon$ $|f_n|\leq g$ $A$ .

Esta pregunta aparece en uno de los últimos trabajos de un análisis real del curso que estoy tomando en este semestre. Pero no tengo idea de cómo hacerlo.

Answer 1

Porque de $f\in L^{1}$, obtenemos $$ \int_{\mathbb{R}}\left|f\|derecha=\lim_{k\to\infty}\int_{\left[-k,k\right]}\left|f\|derecha. $$ Por lo tanto, no es$k\in\mathbb{N}$$\int_{\mathbb{R}\setminus\left[-k,k\right]}\left|f\right|<\frac{\varepsilon}{3}$.

Además, $f$ es uniformemente integrable, es decir, $\delta>0$ con $\int_{B}\left|f\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ tan pronto como $\lambda\left(B\right)<\delta$, donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue.

Sabemos $f_{n}\to f$ pointwise en $\left[-k,k\right]$. Por Egoroff del teorema, por lo tanto existe un conjunto $A\subset\left[-k,k\right]$ $\lambda\left(\left[-k,k\right]\setminus A\right)<\delta$ y con $f_{n}\to f$ uniformemente en $A$.

En particular, obtenemos $$ \left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\leq C $$ para todos los $n\in\mathbb{N}$ $x\in A$ para algunos absoluta constante $C>0$. Por lo tanto, podemos tomar $g=C\cdot\chi_{A}+\left|f\right|\in L^{1}$, porque de $\left|f_{n}\right|\leq\left|f_{n}-f\right|+\left|f\right|\leq C\chi_{A}+\left|f\right|$ en $A$.

Finalmente, llegamos \begin{eqnarray*} \left|\int_{\mathbb{R}\setminus A}f_{n}\right| & = & \left|\int_{\mathbb{R}}f_{n}-\int_{A}f_{n}\right|\\ & \xrightarrow[\text{and }\int_{\mathbb{R}}f_{n}\to\int_{\mathbb{R}}f]{\text{dominated convergence, }\left|f_{n}\right|\leq g\text{ on A},\, f_{n}\to f\text{ pointwise}} & \left|\int_{\mathbb{R}}f-\int_{A}f\right|\\ & = & \left|\int_{\mathbb{R}\setminus A}f\right|\\ & \leq & \int_{\mathbb{R}\setminus\left[-n,n\right]}\left|f\right|+\int_{\left[-n,n\right]\setminus A}\left|f\right|\\ & \leq & \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}. \end{eqnarray*} Por lo tanto, obtenemos $\left|\int_{\mathbb{R}\setminus A}f_{n}\right|<\varepsilon$ para $n\in\mathbb{N}$ lo suficientemente grande como se desee.

Answer 2

He aquí una rápida idea de que puede o no funcionar. Desde $f\in L^1$ usted puede tomar un conjunto $X\subset\mathbb{R}$ finito de medida y tal que $\left\lvert \int_{\mathbb{R}\setminus X} f\right\rvert<\epsilon$ $\left\lvert \int_{\mathbb{R}\setminus X} f_n\right\rvert<\epsilon$ ($n$ lo suficientemente grande), por lo que toda la acción se lleva a cabo en $X$.

Ahora desde $X$ es finito medida, Severini-Egorova del teorema está disponible, y se debe hacer el truco.