¿Cuáles son las dimensiones físicas (unidades) de los elementos en un espacio de Hilbert de un sistema de gestión de calidad?

Question

En QM, el estado de vectores $|\psi\rangle$ parecen tener diversas dimensiones bajo diferentes representaciones: (sólo en el espacio de dimensión continua)

$$\langle x|\psi\rangle = [\frac{1}{\sqrt{Length}}]$$ $$\langle p|\psi\rangle = [\sqrt\frac{time}{{Mass Length}}]$$ etc, y $|\psi\rangle$ igual a $|x'\rangle$ o $|p'\rangle$ en casos especiales (Sistema en un eigenstate de un cierto observable), por lo tanto

$$\langle x|\psi\rangle = \langle x|x'\rangle = [\frac{1}{L}]$$

Entonces, ¿cuál es la dimensión física de $|\psi\rangle$? Esta es una pregunta válida?

Answer 1

La dimensionalidad de $| \psi \rangle$ no tiene ningún significado físico (aunque usted puede fijar formalmente a ser lo que se quiera). El espacio de estados no es el espacio de Hilbert de la teoría en sí misma, pero la proyectiva espacio de Hilbert. Es decir, que dos vectores distintos de cero en el espacio de Hilbert $| \psi \rangle, | \psi' \rangle$ definir el mismo estado físico si $| \psi \rangle = c | \psi' \rangle$ para algunos distinto de cero (complejo) escalares $c$.

Cuando hablamos de la dimensión, en la física, es hablar acerca de cómo las cantidades de escala cuando cambiamos las unidades que utilizamos para describir el problema. Es decir, por ejemplo, si en virtud de un cambio de kilómetros a metros (manteniendo todas las otras unidades de la misma), una cierta cantidad $q$ cambios numéricamente como $q \rightarrow 10^9 q$, $q$ tiene dimensiones de volumen, ya que las escalas de medida de longitud en cubos.

Bajo el mismo cambio, cómo $| \psi \rangle$ cambios no es una cantidad mensurable. Se podría cambiar a $| \psi \rangle$ o $10^9 | \psi \rangle$$ i| \psi \rangle$, pero todos estos son exactamente el mismo estado físico. Así, en la mecánica cuántica, la dimensionalidad de $| \psi \rangle$ es formalmente un sentido de la cantidad. No tiene ningún significado físico. No hay ningún experimento que se puede medir, ni siquiera en principio. Usted puede elegir un convenio en particular, pero independientemente de la opción que usted hace no tiene absolutamente ningún impacto en la física. Si usted va a elegir de una dimensión, la más natural, es adimensional.

Con eso dicho, es a menudo convencional para adoptar algunas de normalización de la condición de $| \psi \rangle$. Esto se hace para facilitar el cálculo explícito, aunque no es exactamente física. Tales condiciones pueden conducir a algunas limitaciones dimensionales. Un ejemplo es $\langle \psi | \psi \rangle = 1$. Esto requiere de $[\langle \psi |] = - [| \psi \rangle ] = -[D]$ donde $[ \cdot ]$ denota el total de la dimensionalidad (algunos podrían argumentar que esto es cierto por definición de la doble espacio, pero no voy a ir tan lejos) y $[D]$ es sólo algunas de dimensionalidad. Si exigimos que el 1-dimensional wavefunctions $\psi^*(x) = \langle \psi | x \rangle$ $\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$ a satisfacer $\int \psi^*(x) \psi(x) dx =1$, esto nos da condiciones para la posición de base y de la base dual, es decir, que $[\psi(x)] = [\psi^*(x)] = [L^{-1/2}]$ donde $[L]$ denota la longitud. Esto le da a $[|x \rangle] =-\frac12[L]+[D]$$[\langle x |] = -\frac12[L]-[D]$. Todavía tenemos esta $[D]$ flotando sin embargo, que es totalmente arbitrario, y la única manera de deshacerse de él es escoger sólo algunas de las dimensiones de una de estas cantidades (o imponer algún criterio equivalente, tales como el requisito de que $[\langle \psi |] = [| \psi \rangle ]$, dando $[D]=0$). Físico sin argumento nos puede dar una dimensionalidad $[D]$ para el estado de vector de sí mismo, ya que no tiene ningún significado físico.

Answer 2

En la mecánica cuántica, cualquier estado físico $ \psi $ satisface una normalización de la condición (en el impulso de espacio, o espacio de coordenadas o algunos otros), a partir de esta normalización condición es fácil ver lo que las dimensiones físicas son en cada contexto. Las coordenadas de la función de onda tiene siempre las dimensiones de $1/\sqrt{V}$ para un volumen de $V$.

Answer 3

Primero de todo, el estado |ψ> no tiene ninguna dimensión. Estás en lo correcto al señalar que estas constantes, que sólo aparece cuando una o más de las características observables de la completa desplazamientos establecer tomar en un rango continuo de posibles valores. La normalización de las constantes de peso y funciones se utilizan para construir correctamente la identidad del operador para un determinado ortogonal eigenbasis en términos de una indiscreta suma.

Permítanme tomar 2 casos para ilustrar. Sea p un observable y forma una completa desplazamientos de establecer por su propia cuenta.

Caso 1:

p toma sólo valores integrales como 1,-5, etc. Así Σ|p>< p| = I, donde I es el operador identidad de la suma se toma sobre todos los números enteros. En este caso se puede ver que hay, evidentemente, no tienen dimensión. Así que no se necesita constantes.

Caso 2:

p se encarga de todos los números reales entre a y b. La suma de todos los valores de una función continua en [a,b] tiene infinitamente denso número de términos, y es por tanto proporcional a ∫ab fdx, independientemente de si la sumatoria del valor difiere o no, es proporcional a la integral.

Por lo tanto, ∫ab |p> dp*W < p| = I. En algunos casos con más de un observable, los términos de la indiscreta suma necesidad para ser ponderada para obtener la consistencia a través de todos los sistemas de coordenadas elegido, es por ello que tienen la función peso W(p).

Como <ψ|ψ> = 1 debido a la condición de normalización, poniendo yo en el medio deben dar el mismo resultado, podemos determinar la constante de estar presente en W de esta condición. dp*W(p) es, pues, efectivamente el 'volumen' elemento dV dividido por V. Para mayor comodidad se multiplica la raíz cuadrada de 1/V , en cuyo caso no necesitamos escribir explícitamente en la integral.

También, puede pedir lo que si los límites de p tiende a infinito y la integral diverge? En ese caso, V diverge, por lo que no podemos evaluar.

En pocas palabras, no hay ninguna dimensión física para |ψ>.